集合中的数学思想方法.doc

集合中的数学思想方法 数学思想是历年高考的重点。其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。下面通过例题透视集合中的数学思想。 一、数形结合思想 数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的。 例1已知为全集,集合为的子集,且=,,,那么集合等于( ) A B C D 解:由于集合将全集划分为四个子集: 、、、.所以借助于文氏图, 可迅速做出判断,如图, 易知 =()()()I().将已知元素填入相应的集合,易知.即,且.故应 二、等价转化思想 等价转化思想就是在解答问题时，需要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，给定的条件才能以有效利用。 例2已知集合,且,则实数组成的集合是_______. 解: 是的子集 又 是的真子集 或或 当时, 当时,解得 当时,解得 的值组成的集合是 三、分类讨论思想 分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用. 例3设集合,集合.若是的子集,求实数的取值范围. 解: 是的子集 可能为、、或 方程中, ⑴若或,则,为的子集 ⑵若,原方程为,为的子集 ⑶若,原方程为,为的子集 ⑷若,则,原方程有两个相异实根 由是的子集得,解得 综上得,当时, 是的子集 四、函数与方程思想 函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求解。 例4设,,,是否存在,使得,证明此结论. 解: 且 此不等式有解,其充要条件是,即 ① 从而 即 ② 由①②及,得代入由和组成的不等式组, 得 故存在自然数,使得 五、运用正难则反的补集思想解题 例5已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围. 解:运用补集概念求解 设所求的范围为A,则 注意到函数的图象开口向上 练习题 关于的不等式与 的解集分别为A和B,求使的的取值范围. 解:运用子集概念求解 由已知得, 当时, 对任意实数,不等式恒成立 当时, 此时 综上所述,所求的取值范围是或