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实变与泛函分析初步0201湖北教育考试院.doc

发布:2017-09-08约字共15页下载文档
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湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》 自学考试大纲 课程名称:实变与泛函分析初步 课程代码:2012 第一部分 课程性质与目标 一、课程性质与特点 《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程,同时也是现代数学的重要基础课程,是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数,而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。它的中心任务是建立勒贝格(Lebesgue)测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格(Lebesgue)积分理论。 二、课程目标与基本要求 通过本课程的学习,初步了解近代抽象分析的基本思想;掌握勒贝格(Lebesgue)测度概念和基本性质、可测集类;掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质;了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系;掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用;了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。 通过本课程的学习,培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力,为后续课程的顺利学习提供保证,为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。 三、与本专业其他课程的关系 本课程是数学与应用数学专业基础课程之一,它的先行课程是《数学分析》,而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。其中《数学分析》是学习本课程的基础,而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。 第二部分 考核内容与考核目标 第一章 集合 一、学习目的与要求 通过本章的学习,应理解集合的概念,熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算,掌握集合列的极限运算;了解康托假设的含义,理解一一映射、集合对等与势(基数)的概念,掌握证明集合对等的基本方法;理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别方法;掌握n维欧氏空间中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系;了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质,以及直线上开集、闭集、完备集的构造;掌握康托集的构造和康托集的基本性质。 二、考核知识点与考核目标 (一)重点 集合的概念、集合的表示、子集、真子集;集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积;上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集;单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理;可数集、可数集性质、有理数集;不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集;中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面;开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界;收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质;集合、集合、集合和集合的性质、Borel集;中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。 识记: 集合的概念、集合的表示、子集、真子集;集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积;上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集;单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理;可数集、可数集性质、有理数集;不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集;中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面;开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界;收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、集合、集合、集合和集合的性质、Borel集;中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。 理解: 集合的表示、子集、真子集;集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积;上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集;一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理;可数集、可数集性质、有理数集;不可数集存在性、连续集及其性质;中的距离、邻域、开球、闭球、球面;开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界;聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质; 集合和集合的性质、Borel集;中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。 应用: 集合的并、交、余、D.Morgan法则;上限集、下限集、单调集列及其极限集;一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、伯恩斯坦定理;可数集、可数集性质;连续集及其性质;中的距离、邻域、开球、闭球;开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界;聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质; 集合和集合的性质、Borel集;中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。 (二)次重点 完全集;开集与闭集构造的定理;
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