数值分析6-2..doc

§6.3 一阶常微分方程组的数值解 一阶方程组和高阶方程组 1.一阶方程组 前面讨论的是单个方程的数值解法，只要把和看成向量，那么前面所讨论的各种计算公式，都可以用于一阶方程组的情形. 例如，对一阶线性微分方程组 （6.3.1） 如果用显式的公式计算，则其计算公式为 若记： =，=，= 则方程组（6.3.1）可简单写成 （6.3.2） 相应的显式计算公式为 （6.3.3） 隐式计算公式为 （6.3.4） 改进的计算公式为 （6.3.5） 如果采用经典的方法，其计算公式为 （6.3.6） 其中 =，= = = = = = = 利用节点上的函数值，依次计算，，，，，，，再将它们代入（6.3.6）式求得节点上的函数值，，如此逐点计算得到各节点处的函数值. 若采用向量形式，则可简单的表示成 =，=， =，=. 这里，=，=，=，=，=， =.利用可以方便的编制求解程序.类似的可以将结论推广到个方程组的情形. 2.高阶方程组 一般地，对于高阶方程组，我们总可以将降阶为一个一阶方程组的形式.如对三阶微分方程的初值问题： 引入新变量，，，则可将三阶方程化为如下一阶方程组 其显式公式为： 同理可以写出相应的经典公式，这里略去.可见，一阶方程组的数值解法是求解高阶方程组的基础. Consider the second-order initial-value problem , for, with ,. : Let and . This transforms the equation into the system , -+. First we can use dsolve from on higher-order equations. Note that th derivative is specified by , the actual values of , can be get by [ y1,y2]=dsolve(Dy1=y2,Dy2=exp(2*x)*sin(x)-2*y1+2*y2,y1(0)=-0.4,y2(0)=-0.6,x) y1 = -2/5*exp(2*x)*cos(x)+1/5*exp(2*x)*sin(x) y2 = 4/5*exp(2*x)*sin(x)-3/5*exp(2*x)*cos(x) Now we use The method to approximate the solution to this problem using h=0.1. The initial conditions give and . ====-0.6,==-+=-0.4 ===-0.6+(-0.02)=-0.62 == - +=0.3247644757 ===-0.6+0.05×0.3247644757=-0.6162832238 ==-0.3152409237 ==-0.6315240924 ==-0.22178637298 So =-0.4617333423 and =-0.6316312421. The value approximates =0.2, and approximates =0.2. The set of values and , for , obtained using the Runge-Kutta method of order four, are presented in the next table and are compared to the actual values of