数值分析期末复习题..doc

一、填空题 1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。 2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y其有效数字的位数为 。 3.对f(x)=x3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。 4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。 5.设方程x=?(x)有根x*,且设?(x)在含x*的区间(a,b)内可导，设x0?(a,b)则迭代格式xk+1=?(xk)收敛的充要条件为 。 6.求解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Jx(k)+f收敛的充要条件为 。 7.,||A||?= ,cond(A)?= 。 8.n次Legendre多项式的最高次项系数为 。 9.中矩形公式：的代数精度为 。 10.求积公式：的代数精度为 。 11.在区间[1，2]上满足插值条件的一次多项式P(x)= 。 12.设是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 = 。 13．梯形公式和改进的Euler公式都是 阶精度的。 二、计算题 1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组 2.设有函数值表 x 1 3 4 6 7 9 y 9 7 6 4 3 1 试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。 3.求解超定方程组的最小二乘解。 4.给定下列函数值表： i 0 1 2 3 xi 3 4 6 8 yi 6 0 2 -1 求3次自然样条插值函数 5.给定在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的 二次（抛物）插值公式，利用插值公式求的近似值并估计误差。 6.试分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组 的第k次迭代公式，并讨论它们的收敛性。 7.利用积分计算ln4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点 才能使其误差绝对值不超过。 8.建立计算的Gauss求积公式，使其具有3次代数精度。 9.应用Newton法导出方程f(x)=x2-a=0的根的迭代格式，并求。 10.设f(x)=ex,x?[0,1]。求f(x)的二次最佳平方逼近多项式 11.求拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线方程。 12．用Euler预测-校正格式求解初值问题 在0.3，0.4处的数值解。要求写出格式，步长h=0.3，小数点后至少保留5位数字。 13．利用Euler公式计算积分在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。 14．试分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组 的第k次迭代公式，并讨论它们的收敛性。 15．用简单迭代法求解的所有实根，精确至3位有效数。 16．试用Gauss消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行： （写出详细过程！） 例17 求积公式 ≈++ 已知其余项的表达式为=，.试确定系数，，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数. 解： 当=1时，=1 +=1 当=时，= += 当=时，= = 代入求得： =，=，=，从而 ≈++，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取 当=时， ==，而 ++= 说明当=时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度. 下面考虑余项，设 =+++ 将=代入，得到 =+3！ =，即余项为 =，. 例18 设给定数据 x 1 1.5 0 2 f(x) 1.50 2.50 1.00 5.50 作出函数f(x)的均差表；(2) 写出牛顿3次插值多项式. 解：（1） 0 1 1.5 2 1.00 =0.50 =1.00 =1.50 1.50 =2.00 =4.00 2.50 =6.00 5.50 （2）=1+++ =1+++ 三、证明题 1.证明1-2x-sinx=0在[0,1]内有唯一根。使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？ 2.证明：证明方程在(0，1)内有唯一根x*。并证明迭代格式：是收敛的。 3.给定方程组 试证明Jacob