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12.2 离散型随机变量的期望值和方差 一、知识梳理 1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定. 2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度. 3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）. （2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）. Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散. 二、例题剖析 【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ. ξ －1 0 1 P 1－2q q2 拓展提高 既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1x2，又知Eξ=，Dξ=.求ξ的分布列. 解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有 Eξ=x1+x2=， Dξ=x12+x22－Eξ2=. 从而得方程组 【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利? 【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ. 特别提示 求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球. 【例4】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望. 【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率. 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 三、同步练习 g3.1098 离散型随机变量的期望值和方差 1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为B A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1 2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为C A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则B A.Eξ=3.5，Dξ=3.52 B.Eξ=3.5，Dξ= C.Eξ=3.5，Dξ=3.5 D.Eξ=3.5，Dξ= 4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是A A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1 C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－k D.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k 5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A A. B. C. D. 6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于C A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 7.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机__乙______的质量较好. 8.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为__ 5______. 9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为__1.2__