初二数学经难题及答案.doc

初二数学经典题型 1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形． 证明如下。 APCDB首先，PA=PD，∠PAD= A P C D B 在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。 ANFECDM A N F E C D M B 证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM. 又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半． 证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF 因为P为EF中点，PQ平行于两底 PC P C G F B Q A D E 所以PQ＝（ME＋NF）/2 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B＝角Rt＝角BNF CB=BF 所以△OCB全等于△NBF △MEA全等于△OAC（同理） 所以EM＝AO，0B＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB． 过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE 因为DP//AE，AD//PE PA P A D C B 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A、E、B、P四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB 因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB 5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长． ?解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ 所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC AC A C B P D 所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90° 即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° 所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2 所以AB＝[√(5＋2√2)]a 6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。 由题意得： 解之得： 经检验得：是原方程解。 ∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。 7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值