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问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料任意切割成一些形状、大小完全相同的三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？ 2、四边形呢? 任意三角形和任意四边形 可以进行平面镶嵌, 应将 相等的边重合在一起。 （05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是 （A）正方形 　　　（B）正六边形 （C）正十二边形 　（D）正十八边形 如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌， 要求：在每个顶点处，每种正多边形只 能有一个。那么边数满足什么条件？ 解：设正多边形的边数分别为m 、 n 、 t m (m?2)180° n (n?2)180° t (t?2)180° + + =360° 3 ? 2（ + + ）= 2 m 1 t 1 n 1 m 1 + + = n 1 t 1 2 1 1、镶嵌的要求： 无缝隙，不重叠 2、多边形能否镶嵌的条件： 每个顶点处几个角的和为360° 再 见 镶嵌之父 M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”， 着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作 品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形 象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊 称他为“镶嵌之父”。 。 无论这个问题从属于数学领域还是从属于 艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。 ——M.C.埃舍尔 埃舍尔的作品 欣 赏 请你来当设计师 圣地亚哥人玛乔里·赖斯 于1977年12月发现. * 平面镶嵌: 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌). 拼一拼 选一选 小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形, 正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以 供他选择? 60° 90° 120° 108° 6 60 0 90 0 108 0 120 0 4 3 3 4 能镶嵌 能镶嵌 不能镶嵌 有空隙 能镶嵌 60 ×6=360 0 0 90 ×4=360 0 0 108°×3360° 108 ×4＞360 0 0 120 ×3=360 0 0 不能镶嵌 有重叠 实 验 结 果 正n边形 拼图 每个内角度数 多边形个数 结果 n = 3 n = 4 n =5 n = 6 当正多边形的一个内角度数 的整数倍是360 ° 时，这种 正多边形就能镶嵌. 解:假设在一个顶点处有K个同种正n边形镶嵌, 则可得方程 整理,得 K(n-2)=2n, 所以 因为K,n为正整数, 故n只能等于3、4、6 这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有 三种选择:正三角形,正四边形和正六边形. 1、三角形可以作平面镶嵌吗?如果能三角形如何镶嵌呢? 如图,四边形ABCD中,因为∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,所以 用四边形也可以作平面镶嵌 A B D C 那么四边形如何镶嵌呢? 请看! (2003年中考题）商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形； ③正五边形；④正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 C 练习一： 练习二 1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独作镶嵌 （ ） 2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )个四边形. 3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是( ). A B C D 能 6 4 C 练习三 如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的规律,镶嵌成若干个图案： (1).第4个图案中有蓝色地砖( )块. (2).第n个图案中有蓝色地砖( )块. 18 4n+2 如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌, 你又会选择哪两种呢? 想一想 解：设每个顶点周围有x个正三角形 　　和y个正四边形, 　　则:　　　60 °x+90 °y=360 ° 　　即:　　　2x+3y=1