微分几何 陈维桓 绪论第一章第二章讲稿.doc

目 录 绪 论 1 内容简介 1 第一章 预备知识 2 引言 2 § 1.1 三维欧氏空间中的标架 2 一、向量代数复习 2 二、标架 3 三、正交标架流形 3 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 3 § 1.2 向量函数 5 第二章 曲线论 6 § 2.1 参数曲线 6 § 2.2 曲线的弧长 9 § 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 10 § 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 14 § 2.5 曲线论基本定理 16 §2.7 存在对应关系的曲线偶 21 §2.8 平面曲线 21 绪 论 几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”. Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表. 《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入. 对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法. 微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用. 内容简介 第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分. 第一章 预备知识 本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时 难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群 引言 为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数的图像是平面上的一条曲线，二元函数的图像是空间中的一张曲面. 采用参数方程，空间一条曲线可以表示成 . 这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数. 所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁. § 1.1 三维欧氏空间中的标架 一、向量代数复习 向量即有向线段：，，. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：，. 反向量：. 向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义： 外积的定义. 二重外积公式：； 内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性. 二、标架 仿射标架. 定向标架. 正交标架(即右手单位正交标架)：. 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间和. 三、正交标架流形 取定一个正交标架(绝对坐标系). 则任意一个正交标架被点的坐标和三个基向量的分量唯一确定： (1.6) 其中可以随意取定，而应满足 ， (1.7) 即过渡矩阵是正交矩阵. 又因为是右手系，，即矩阵 (1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应： 正交标架，. 所以正交标架的集合是一个6维流形. 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 空间任意一点在两个正交标架和中的坐标分别为和，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动. 在刚体运动下，若将正交标架变为，则空间任意一点和它的像点(均为在中的坐标)之间的关系式为 (1.11) 定理1.1 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于中的任意两个正交标架，必有的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架. 空间到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射). 仿射坐标变换与仿射变换. § 1.2 向量函数 所谓的向量函数是指从它的定义域到中的映射. 设有定义在区间上的向量函数 . 如果都是的连续函数，则称向量函数是连续的；如果都是的连续可微函数，则称向量函数是连续可微的. 向量函数的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即 ，， (2.6) ，