案例1 气象观测站的优化.doc

气象观测站的优化 一．问题的提出 某地区内有12个气象观测站，为了节省开支，计划减少气象站的数目。已知该地区12个气象观测站的位置，以及10年来各观测站测得的年降水量分别如下图及表所示。减少哪些观测站可以使所得到的降水量的信息足够大？观测站分布如下图所示。 表1 年 降 水 量 单位：mm 年 1981 272.6 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2 1982 251.6 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 446.2 307.5 421.1 455.1 1983 192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2 1984 246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0 1985 291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1 1986 466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7 1987 259.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6 1988 453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2 1989 158.5 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7 1990 324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1 二．假设 1．相近地域的气象特征具有较大的相似性和相关性，它们之间的影响可以近似为一种线性关系。 2．该地区的地理特征具有一定的均匀性，而不是表现为复杂多变的地理特征。 3．在距离较远的条件下，由于地形、环境因素而造成不同区域的年降水量相似的可能性很小，可以被忽略。不同区域的降水量的差异主要与距离有关。 4．不考虑其它区域对本地区的影响。 三．分析 问题要求减少一些观测站，但获得的降水量的信息足够大，如何能做到这一点呢？ 首先要考虑降水量的信息问题。对一个观测站而言，统计10年降水量的均值与方差，均值表示该观测站处降水量的大小，而方差表示降水量变化的大小。粗略地说，如果某观测站测得的降水量的方差为0（这当然是不可能的），则表示该处的降水量没有变化，因此可以用以前的降水量来代替以后的降水量。从这种角度来看，我们得到： 原则1：尽可能去掉降水量方差小的观测站点，用以前的数据来估计这些点的降水量。 另一方面，由于相近地域的气象特征具有较大的相似性和相关性，被去掉的观测站的降水量与它附近的观测站的降水量可以被认为成近似的线性关系，所以我们得到： 原则2：去掉观测站的降水量由其它站点的降水量的线性回归方程来估计。 除了上述两条原则之外，我们还对去掉站点的估计值与原观测值进行比较，因此 原则3：对去掉的观测站的观测值与估计值进行均值和方差检验。 四．问题的求解 按照上述原则来进行求解。 1．求方差并比较大小 首先计算各个观测站的方查差，计算公式如下： ， 得到各观测站的降水量的均方差为（方差由小到大排序）： 编号 12 7 10 4 2 8 方差 36.82989 38.04794 57.24722 63.97471 80.92705 85.07349 编号 11 5 6 1 9 3 方差 86.51358 94.10342 94.20020 100.26600 106.40916 108.24437 2．对12号观测站的讨论 按照原则1，我们首先应考虑去掉第12号观测站，再按照原则2和图形的地理位置，将12号观测站的降水量作为因变量，将附近的8号、11号观测站的降水量作为自变量，作回归方程： 运用最小二乘法，得到回归系数，。令 由原则3，对和作方差检验和均值检验。 先作方差检验。 【原理】设是来自正态总体的样本，是来自正态总体的样本。记 ， 则 特别地，当时，则 令 ， 则 考虑如下假设检验