第四章 有限与无限集.ppt

第四章 有限集与无限集 §4.1 有限集与无限集基本概念 §4.1 有限集与无限集基本概念 §4.1 有限集与无限集基本概念 §4.1 有限集与无限集基本概念 §4.1 有限集与无限集基本概念 §4.2 有限集 §4.2 有限集 §4.2 有限集 §4.2 有限集 §4.2 有限集 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 §4.3 无限集的性质 小结 习题 习题 习题 分析： 1、证(0，1)内的实数不可列，利用反正法，即假设其是可列的，当将其列出时总能找到一个元素不属于列出的集合。 2、证(0，1)内的实数与R等势，即R不可列。 定理4.12 实数集是不可列的。 证明： 1、定义在(0，1)内的实数集S={x|x ?R且0x1} ?x ?S，可表示为x=0.y1y2y3…(yi ?{0,1,…9}) 假设S是可列的，则它的元素可依次排列：x0，x1，x2，… 且我们有 x0=0.a00a01a02…a0n… x1=0.a10a11a12…a1n… … xm=0.am0am1am2…amn… … 只需证还能找到一个元素r?S，但r不在x0，x1，x2，…中 构造一S内的实数r=0.b0b1b2…bn… 其中当aii≠1时，bi=1 当aii=1时，bi=2 因为b0≠a00，所以r ≠x0 因为b1≠a11，所以r ≠x1 … 因为总有一位不同，所以r ≠xi ，这与r ?S矛盾， 即(0，1)是不可列的。 2、证明S~R，即建立一一对应关系。设R中的元素为y，S中的元素为x，因为S不可列，所以只能建立关系式： 当x ?(0，1/2]，根据上式有y ?(0，+∞) 当x ?[1/2 ，1)，根据上式有y ?(－∞ ，0) 综上所述x ?(0，1)，有y ?(－∞ ， +∞) 根据上式还需证y ?(－∞ ， +∞)，有x ?(0，1)，才能证得上式试R和S之间满足一一对应关系。转变上式，得 当y ?(0，+∞) ，根据上式有x ?(0，1/2] 当y ?(－∞ ，0)，根据上式有x ?[1/2 ，1) 综上所述y ?(－∞ ， +∞)，有x ?(0，1) 从而建立了一一对应关系，由此整个定理得证。 结论 (1)实数集比可列集要“大”，它的基数不是阿列夫零，我们用?(阿列夫数)表示---称为连续统的势； (2)在无限集中除了阿列夫零和阿列夫数以外还有更大基数的集合； (3)无限集也有大小，可列集是最小的无限集，其次是实数集； (4)对于任意一个无限集，总存在一个基数大于这个集合的集合，即无限集的大小也是无限的。 掌握有限集和无限集的概念。 掌握有限集的计数方法。 熟练掌握无限集的性质，无限集计数方法，根据势的定义对无限集进行分类。能够证明一个集合是无限集，可列集等。 * LOGO 有限集与无限集基本概念 1 有限集 2 无限集的性质 3 问题：{1,2,3,…}与{2,4,6,…}哪个集合的元素更多？ 因为{1,2,3,…}? {2,4,6,…}，所以{1,2,3,…}里的个数多于{2,4,6,…}的个数。 因为两个集合可用函数f(n)=2n表示，而f(n)=2n是一一对应函数，所以{1,2,3,…}和{2,4,6,…}两个集合的个数一样多。 结论：无限集合无法用确切的个数来描述，有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去。 定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2…(n-1)}如果存在一一 对应函数 f: Nn→S，则称S 是有限的，并称其有 基数n;如果 S不是有限的则称其为无限的。 定义4.2 如果存在一一对应函数 f: S →S′，使得f(S) ? S，即f(S)是S 的真子集，则S是无限的，否则 S是 有 限的。 说明：要证明一个集合是无限集，只需证明集合和它的它的真子集间存在一一对应关系。如：2n是n的真子集。 例4.1 一个有n个不同元素所组成的集合，它就是基数为n的有限集。 例4.2 自然数集N是无限集。 例4.3