第二节标准形v3.ppt

* * 主要内容 标准形的定义 第二节 标 准 形 配方法及其证明 配方法的矩阵形式 初等变换法 一、标准形的定义 定义4 二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退化 线性替换 X = CY 所变成的如下形式(只含平方项) d1y12 + d2y22 + … + dnyn2 的二次型称为二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的标准形. 二、配方法及其证明 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过 非退化的线性替换变成标准形. 证明 下面的证明实际上是一个具体把二次 型化成标准的方法，这就是中学里学过的“配方 法”. 我们对变量的个数 n 作归纳法. 对于 n = 1 ，二次型就是 f ( x1 ) = a11x12 . 它已经是平方和了，结论成立. 现假设对 n - 1 元的二次型，定理的结论成立. 再设 分三种情形来讨论： 1) aii ( i =1 , 2 , … , n ) 中至少有一个不为零， 不妨设 a11 ? 0 , 这时 这里 是一个 x2 , x3 , … , xn 的二次型. 令 即 这是一个非退化线性替换，它使 由归纳法假设，对 有非退化线性 替换 能使它变成标准形 d2z22 + d3z32 + … + dnzn2 . 于是非退化线性替换 就使 f ( x1 , x2 , … , xn ) 变成 f ( x1 , x2 , … , xn ) = a11z12 + d2z22 + … + dnzn2 , 根据归纳法原理，此时定理得证. 2) 所有 aii = 0，但是至少有一个 a1j ? 0 ( j 1 ) 不失一般性，设 a12 ? 0 . 令 它是非退化的线性替换，且使 f ( x1 , x2 , … , xn ) = 2a12x1x2 + ... = 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + ... = 2a12z12 -2a12z22 + … , 这时上式右端是 z1 , z2 , … , zn 的二次型，且 z12 的 系数不为零，属于第一种情况，定理成立. 3) a11 = a12 = … = a1n = 0 . 由对称性，有 a21 = a31 = … = an1 = 0 . 这时 是 n - 1 元二次型，根据归纳法假设，它能用非退 化线性替换变成标准形. 这样我们就完成了定理的证明. 不难看出，标准形的矩阵是对角矩阵， d1x12 + d2x22 + … + dnxn2 反过来，矩阵为对角形的二次型就只含平方项. 按 上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的 矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言， 用矩阵的语言,定理 1 可以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都 合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CTAC 成为对角矩阵. 例 1 用配方法化二次型 为标准形.