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高中数学概率统计例题及解答 例题1 丢一枚均匀硬币2次，A表第一次出现正面之事件，B表第二次出现反面之事件，C表1次正面、1次反面出现之事件，试问： (1)A，B是否为独立事件？（3 分） (2)B，C是否为独立事件？（3 分） (3)A，C是否为独立事件？（3 分） (4)A，B，C是否为独立事件？（3 分） 解 样本空间S＝｛（正﹐正）﹐（正﹐反）﹐（反﹐正）﹐（反﹐反）｝ A＝｛（正﹐正）﹐（正﹐反）｝ B＝｛（正﹐反）﹐（反﹐反）｝ C＝｛（正﹐反）﹐（反﹐正）｝ A∩B＝｛（正﹐反）｝，B∩C＝｛（正﹐反）｝ A∩C＝｛（正﹐反）｝，A∩B∩C＝｛（正﹐反）｝ (1)∵P（A∩B）＝，P（A）＝P（B）＝ ? P（A∩B）＝P（A）P（B） ∴A，B是独立事件 (2)∵P（B∩C）＝，P（B）＝P（C）＝ ? P（B∩C）＝P（B）P（C） ∴B，C是独立事件 (3)∵P（A∩C）＝，P（A）＝P（C）＝ ? P（A∩C）＝P（A）P（C） ∴A，C是独立事件 (4)∵P（A∩B∩C）＝，P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝ ? P（A∩B∩C）≠P（A）P（B）P（C） ∴A，B，C为相依事件 例题2 掷一颗公正骰子一次，令A表示点数为奇数的事件，B表示点数为大于1且小于4的事件，C表示点数为偶数的事件，试问： (1) A，B是否为独立事件？（3 分） (2) A，C是否为独立事件？（3 分） (3) A，B，C是否为独立事件？（4 分） 解 S＝｛1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6｝，A＝｛1﹐3﹐5｝，B＝｛2﹐3｝，C＝｛2﹐4﹐6｝ A∩B＝｛3｝，A∩C＝?，B∩C＝｛2｝，A∩B∩C＝? P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝ P（A∩B）＝，P（A∩C）＝0，P（B∩C）＝，P（A∩B∩C）＝0 (1)P（A）P（B）＝＝P（A∩B）＝　∴A，B为独立事件 (2)P（A）P（C）＝ × ＝≠P（A∩C）＝0　∴A，C为相依事件 (3)P（A∩B∩C）＝0≠P（A）P（B）P（C）＝ × × 　∴A，B，C为相依事件 重点二　重复试验 例题3 小明投掷一颗公正的骰子5次，并假设每次投掷的结果都是互相独立的，试求他投掷5次恰出现3次偶数的概率为　　　。（10 分） 解 公正的骰子投掷一次，将出现偶数点视为成功，则成功的概率p＝，失败的概率q＝ 则「投掷5次恰出现偶数3次」表示重复试验中，恰有3次成功，2次失败 则pppqq其排列方法共有＝种，而每一种概率都是 故投掷5次恰出现偶数点 3 次概率为＝ 例题4 小华打靶，平均每4发中1发，并假设每次射击的结果都是互相独立的，今射击3发，则恰中2发的概率为　　　。（10 分） 解 将击中目标视为成功，则成功概率p＝，失败概率q＝ 故恰中2发的概率为＝ 例题5 中央气象局长期观测上海市9月分降雨概率为25％，今预测今年9月1日至9月4日，且每次预测结果互相独立，试问： (1) 恰有2天降雨的概率为　　　。（5 分） (2) 至少3天降雨的概率为　　　。（5 分） 解 (1)将降雨视为成功，则成功概率p＝25％＝，失败概率q＝1－25％＝ 故所求概率为＝6 × × ＝ (2)至少成功3次的情形，包括恰成功3次或恰成功4次 故所求概率为＋＝ 例题6 掷一枚均匀硬币6次，恰在第6次出现第4次正面的概率为　　　。（10 分） 解 依题意知，前 5 次出现 3 次正面且第 6 次出现正面 故所求概率为＝＝ 例题7 某次数学段考有是非题5题，每题10分，答错不倒扣，每题答对与否互相独立。大雄看不懂题目，只想一路猜到底，则大雄猜到30分以下（含30分）的概率为　　　。（10 分） 解 所求为＋＋＋＝＋＋＋＝＝ ↑　　　　↑　　　　　　↑　　　　　　↑ 5题全错　5题答对1题　　5题答对2题　　5题答对3题 重点三　二项分布 例题8 小英到庙里拜拜掷筊，出现「圣筊」概率为，且每次掷筊的结果互相独立。设随机变量X表示掷筊3次后出现「圣筊」的总次数，试求随机变量X的期望值为　　　次，变异数为　　　。（10 分） 解 掷筊一次，将出现「圣筊」视为成功，则成功的概率p＝，失败的概率q＝ 此随机变量X的概率分布为二项分布B，其概率分布如下表： X 0 1 2 3 pX ＝ ＝ ＝ ＝ ?期望值E（X）＝0 × ＋1 × ＋2 × ＋3 × ＝＝（次） ?变异数Var（X）＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝ 重点四　二项分布的性质 例题9 某球袋中装有红球1颗，白球3颗，球大小一致，且被取出机会均等。假设每次取球的结果互相独立，今自袋中取球4次，每次取1球，放回后再取，试求取得白球的 (1)期望值为　　　次。（3 分） (2)变异数为　　　。（3 分） (3)标准差为　　　次。（3 分