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01背包问题 计科一班 刘东赫 座机电话号码18 论文主要内容： 一、 问题描述 给定n种物品和一背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量是c，问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。用贪心算法求解和动态规划算法求解 二、动态规划算法求解 1.算法思想：用二维数组来记录那个物品被存入，初始化的时候都为0，表示没有一个物品可以放入书包。横坐标表示C背包容量，纵坐标表示放入的物品数量，把物品进行测试，如果物品小于背包的容量，价值大于原来的数，我们就把它记录进去。 2.基本思路 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是： f[i][v] max f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i] 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。 #include int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/ int knapsack int m,int n int i,j,w[10],p[10]; printf 请输入每个物品的重量,价值：\n ; for i 1;i n;i++ scanf %d,%d,w[i],p[i] ; for i 0;i 10;i++ for j 0;j 100;j++ c[i][j] 0;/*初始化数组*/ for i 1;i n;i++ for j 1;j m;j++ if w[i] j /*如果当前物品的容量小于背包容量*/ if p[i]+c[i-1][j-w[i]] c[i-1][j] /*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/ /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/ c[i][j] p[i]+c[i-1][j-w[i]]; else c[i][j] c[i-1][j]; else c[i][j] c[i-1][j]; return c[n][m] ; int main int m,n;int i,j; printf 请输入背包的承重量,物品的总个数：\n ; scanf %d,%d,m,n ; printf 旅行者背包能装的最大总价值为%d,knapsack m,n ; printf \n ; return 0; 4 运行结果（截图） 5计算复杂性分析 时间、空间 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i 1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下： for i 1..N for v V..0 f[v] max f[v],f[v-c[i]]+w[i] ; 其中的f[v] max f[v],f[v-c[i]] 一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v] max f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]] ，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。 事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。 过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。 procedure Z