《数学物理方法》课程七.ppt

主讲教师:冉扬强 第五章 残数及其应用 第一节 残数 第二节 利用残数计算实积分 主要内容 (1)、残数的概念及残数定理 (2)、求残数的方法 (3)、利用残数定理求复变积分 (4)、利用残数定理求某些实变积分 重点和难点 重点: 残数定理及残数的求法；利用残数定理计算复变函数积分和实变函数积分 难点: 残数的求法；残数定理计算实变积分的方法 第五章 残数及其应用 第一节 残数 一、残数的定义及残数定理 1、定义 哥西定理告诉我们，如被积函数 在围线 c所围闭区域上解析，则积分 ，但如果 在该区域上有奇点 a (孤立奇点)，则 积分 一般说来不再为0. 如： ， 这里 为函数 的一阶极点. 设 a 为 的孤立奇点，在以 a 为心，半径为R 的无心邻 域，即在 内把 展成罗朗级数： 罗朗级数的 项的系数 就这样具有特别重要的地位，称它为 在 a 的残数 (或余数或留数)，记着 或 这样： 2、残数(留数)定理 设 在围线 c 所包围的区域 D 上除点 外解析， 并且在c上每点也解析，则 二、残数的求法 1、 设 a 为 的 n 阶极点，则 2、当a为 的一阶极点，则 3、设 , , 在点a 解析, 且 ，而a为 的一阶0点 (即 )，则　 例1. 求 在 的残数 解： 例2. 计算 解: ， 是 的 三阶极点, 故 例3.　计算 解: 在单位圆周内, 以z = 0为孤立奇点.则: 三、无穷远点的残数 定义：设函数 在 点的某无心邻域 内解析，则称 点为 的 孤立奇点. 定义：设 为 的一个孤立奇点，则称： 为 在 点的残数，记为 是指沿c 的反方向（顺时针方向），这正 是 点的正方向. 无穷远点的残数 等于 在 的罗朗展式中的 系数的反号。 定理：如果 在闭平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内) 则在各点的残数的总和为0. 例５.计算积分： 解：求被积函数的奇点，令 或 得 当 时， 解析，故无穷远处 也是其奇点，所以 第二节 利用残数计算实积分 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下： 定积分 的积分区间 可以看作是复数平面上的实轴上的一段 ，于是，或者利用自变数的变换把 变成某个新的复数平面上的回路，这样就可 以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线 ， 使和合成回