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多項式方程式 第四組 蔡瑋倫，吳柏萱，張哲誌 網頁設計規劃書 教學內容大綱 何謂多項式方程式 如何求一元二次方程式的根? 有理根判定法 勘根定理 實係數多項式的代數基本定理 實係數多項式虛根成對定理 1. 何謂多項式方程式？ 定義：f (x) = a0 + a1x +…+an-1xn-1+ an xn＝0 n ? N ， a0 , a1 , … , an ? C(複數) 例子：3x4 + x2 - 7 = 0 反例：|x| + x2 + 3= 0 2.如何求一元二次方程式的根 因式分解法 將一元二次方程式整理成 ax2 + bx + c = 0(a,b,c ? R且a≠ 0) 如果我們能將等號左邊因式分解成兩個一次多 項式的乘積，就可得此方程式的解。 下面的例子來說明這種解法。 2.如何求一元二次方程式的根 因式分解法 Example:求2x2 + 1 = 5x – 1 的解。 Sol:利用移項可把原方程式改寫為 2x2 - 5x + 2 = 0 因式分解後可得2x2 - 5x + 2 = (2x – 1)(x-2) 因此，原方程式可改寫為 (2x – 1)(x-2) = 0 可知 2x – 1 =0 或 x-2 =0 即 x = 或 x =2。 2.如何求一元二次方程式的根 配方法 我們也可以利用平方根的概念來解方程式， 例如將 x2 - 4x + 2 = 0 改寫為 (x-2)2 = 2 的形式 進而解得 x = 。 2.如何求一元二次方程式的根 公式解 雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較 為複雜，但觀察其過程，若避開繁複的運算 過程，直接將方程式的係數代入這個解的通 式，即可得到方程式的解，稱為公式解。 3.有理根判定法 設一方程式 f (x) = a0 + a1x +…+an-1xn-1+ an xn＝0 n ? N ， a0 , a1 , … , an ? C(複數)，an ≠ 0 則 若 x = c 為 f (x) = 0 的整數根→c∣ a0 若 x = 為 f (x) = 0 的有理根 →a∣an 、b∣a 0 3.有理根判定法 Example: 2x3 - 11x2 - 20x –7= 0有幾個有理根？ Sol：所有有理根有可能的值為 　± 1, ± 7, ± 1/2, ± 7/2 　 全部代入，發現只有-1/2為其根 故此方程式只有一個有理根 4.勘根定理 一元 n 次方程式，當n ≥ 3時，其解不容易求，但是我們可以利用勘根定理來判別其實數根之範圍。 4.勘根定理 設 f (x)為一個實係數n次多項式， a、b ? R 且 a b。 若 f (a) × f (b) 0， 則 f (x) = 0 在(a,b)之間至少有一實根。 4.勘根定理 S(-0.1) 0 且 S(-0.2) 0 S(0.1) 0 且 S(0.3) 0 S(0.3) 0 且 S(0.7) 0 則S(x) 三次多項式 有三個實數解 x1 ， x2 ， x3分別在 -0.1 x1 -0.2 0.1 x2 0.3 0.3 x3 0.7 5.代數基本定理 設 n ? N，對任意複係數 n 次多項式方程式必至少有一複數根。 推論： 設 n ? N，對任意複係數 n 次多項式方程式必恰有n 個根。(含重根與複數根) 6.實係數多項式虛根成對定理 若 f (x)為一實係數n次多項式方程式， 則 f (x)＝ 0 的虛根必成對出現，即： 若 f (a+bi ) = 0 , a、b ? R , b ≠ 0 則 f (a-bi ) = 0 6.實係數多項式虛根成對定理 6.實係數多項式虛根成對定理例題 已知5及1 ? 2i為實係數方程式 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0之二根，則 (A)另一根為1 ? 2i　 (B) a ? b ? c ? ? 10 (C) a ? 7 (D) b ? 15 (E) c ? 25。 【解答】(A)(D) 6.實係數多項式虛根成對定理詳解 實係數方程式有一根1 ? 2i，則有一根1 ? 2i 故x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0三根為5，1 ? 2i，1 ? 2i ∴x3 ? ax2 ? bx ? c ? (x ? 5)[x ? (1 ? 2i)][x ? (1 ? 2i)] ? (x ? 5)(x2 ? 2x ? 5) ? x3 ? 7x2 ? 15x ? 25 ∴a ? ? 7，b ? 15，c ? ? 25， 另一根為1 ? 2i 7. 網頁設計想