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一类非线性波动方程的差分解法的开题报告

开题报告

一类非线性波动方程的差分解法研究

一、研究背景

非线性波动方程广泛应用于自然科学和工程技术领域，具有重要的理论和应用价值。由于非线性方程的数学特性复杂，数值求解方法成为解决该类方程的重要手段，且其稳定性、精度与计算效率直接影响到研究结论及应用价值。因此，如何有效地求解非线性波动方程成为当前研究的热点和难点。

差分方法是求解非线性波动方程的一种常用数值方法，其将微分方程转化为差分方程，从而利用计算机对相应的差分方程进行求解。差分方法是一种简单、直接且易于实现的数值方法，能快速获得逼近精确解的数值解，因此在科学计算中更为常用，因此对一般非线性波动方程的差分解法进行深入研究具有很大的实用价值和理论意义。

二、研究目的

本研究旨在构建一种有效的差分方法，并将其应用于一类非线性波动方程的求解，以提高数值解的精度和计算效率，为实际应用提供参考和借鉴。

具体来说，研究将围绕以下特定目的进行：

1.探究非线性波动方程求解的差分方法理论和算法，形成创新性的研究思路和方法。

2.设计适用于该类非线性波动方程的差分方程的解法，并在稳定性、收敛性、精确度等方面进行分析和比较。

3.将所设计的差分算法应用于一类非线性波动方程的数值求解，得到数值解，并对其进行分析和评价。

4.提出改进差分算法的方案，完善差分算法的稳定性、收敛性和计算精度。

三、研究内容

1.阅读文献资料，了解非线性波动方程的差分方法研究现状，明确研究定位和目标。

2.总结和阐述非线性波动方程的求解方法和差分算法的基本原理、数值格式等。

3.选择一类非线性波动方程，并根据该方程的特点，设计适用于其差分方程的算法。

4.给出该差分算法的稳定性分析、数值精度分析、收敛性分析等。

5.利用该差分算法对一类非线性波动方程进行数值求解，并对结果进行分析。

6.在差分算法的基础上，提出改进算法并进行数值试验，完善算法的稳定性、收敛性和计算精度。

7.对所得研究结果进行总结与分析，提出相应的结论和建议。

四、研究方法

1.文献调研法：通过查阅相关论文、专著和研究报告，了解非线性波动方程的差分方法研究现状和实际应用。

2.算法设计法：结合一类非线性波动方程的特点，设计适用于其差分方程的算法，为下一步数值计算做准备。

3.稳定性分析法：通过分析算法的波动性、上限性和稳定性条件，得出算法的稳定性结果。

4.收敛性分析法：通过证明算法的解在离散步长趋于0时逼近真解的程度，得出算法的收敛性结果。

5.数值试验法：将所设计的差分算法应用于一类非线性波动方程求解，通过数值试验的手段验证算法的可靠性和精度。

五、论文结构及进度安排

1.第一章：绪论。介绍研究的背景、意义和研究现状。

2.第二章：非线性波动方程的差分解法。介绍非线性波动方程差分解法的基本原理和数值格式。

3.第三章：差分算法的设计。以选定一类非线性波动方程为模型，设计适用于其差分方程的算法并分析其数值格式。

4.第四章：差分算法的数值试验。将所设计的差分算法应用于一类非线性波动方程进行数值计算并分析其数值结果。

5.第五章：改进算法的设计。在第三章所提出的算法的基础上进行改进并进行试验。

6.第六章：总结与展望。给出研究总结和展望。

进度安排：

第一章、第二章、第三章定稿：2019年11月底之前；

第四章、第五章定稿：2020年4月底之前；

论文定稿：2020年6月底之前。