利用函数的最值求不等式恒成立问题.docx

考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题例3、已知过函数的图象上一点的切线的斜率为－3．（1）求的值；（2）求的取值范围，使不等式对于恒成立； 【解析】（1）= 依题意得 ，把代入得 （2）令得或 要使对于恒成立，则的最大值 变式训练1、设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数.（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立（注：为自然对数的底数）.【解析】（I）求导得因为是的极值点，所以解得或．经检验，符合题意，所以，或（II）①当时，对于任意的实数，恒有成立，即符合题意②当时即 时，由①知，时，不等式恒成立，故下研究函数在上的最大值，首先有此值随着的增大而增大，故应有，即故参数的取值范围是或，且.同步训练1、(2011·荆州质检题)函数对于总有成立，则的取值为(　　)A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．{4} D．[2,4]【解析】，当时，，，不合题意；当时，，在[－1,1]上为减函数，，，不合题意；当时，且，解得.综上所述，，故选C.答案：C2、设函数在内有定义.对于给定的正数K,定义函数 取函数.若对任意的,恒有,则( )A.K的最大值为2 B.K的最小值为2C.K的最大值为1 D.K的最小值为1 【解析】 因为恒成立，所以K≥时，解得故时，；时所以在上为单调递增函数；在上为单调递减函数。在处取得最大值，即。答案：D3、设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】可令，则满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，故选A.4、（2012辽宁文）设，证明： （1）当时， （2）当时，【解析】（1）记，则当时， ，又，故 ，即 （2）记，则当时，由（1）得 令， 因此在内是递减函数，又由，得，所以. 所以，在内是递减函数，又，所以 于是，当时，.5、（2012辽宁理）设，曲线与直线在点相切.（1）求的值；（2）证明：当时，【解析】（1）由的图像过点，代入得由在处的切线斜率为，又，得（2）（证法一）由均值不等式，当时，，故记，则，令，则当时，因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时， 6、（2012新课标理）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【解析】（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 ①当时，在上单调递增 时，与矛盾②当时，③当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为7、已知函数，对任意的，恒有。 （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意不等式恒成立，求的最小值. 【解析】（Ⅰ）∵对任意的，恒有 ∴ 即恒成立， ∴ ① ∴ 又 ，∵ ∴ 所以. （Ⅱ） 因为，即，因此有 不等式恒成立，即， ∴ ② 由①式得，则，∴ ∴ ③ 由②③式得，解得，所以的最小值为.8、设函数， （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求所有实数，使对恒成立． 【解析】（Ⅰ）由题意的定义域为 令， ∴，即的单调减函数区间为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增 则，解得： 所以，当时，对恒成立.9、（2012湖北）设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求函数的最大值； （3）证明：. 【解析】（1）因为，由点在上，可得，即， ∵ ∴ 又∵切线的斜率为 ∴ 故， （2）由（1）知 ∴ 令，解得，即在上有唯一零点. 在上，故单调递增；而在上，，单调递减.故在上的最大值为.（3）令，则 在上，，故单调递减； 而在上，，单调递增. ∴在上的最小值为. ∴，即 令，得，即，所以，即. 由（2）知，故所证不等式成立.