[2018年最新整理]2013版高中全程复习方略配套课件：函数的单调性与最值(北师大·数学理·陕西专用).ppt

【解析】(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0．再令y=-x，得f(-x)=-f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1-x2＞0， f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 又∵x＞0时，f(x)＜0．而x1-x2＞0， ∴f(x1-x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 因此f(x)在R上是减函数． 方法二：在R上任取x1，x2，不妨设x1＞x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2) 又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1-x2＞0， ∴f(x1-x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数. (2)∵f(x)在R上为减函数， ∴f(x)在［-3，3］上也为减函数， ∴f(x)在［-3，3］上的最大值为f(-3),最小值为f(3)，f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2， ∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), ∴f(-3)=-f(3)=2, 因此，f(x)在［-3，3］上的最大值为2，最小值为-2. 应用函数的单调性 【方法点睛】应用函数的单调性可求解的类型 (1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小； (2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系； (3)求解析式中参数的值或取值范围； (4)求函数的最大值、最小值； (5)得到图像的升、降情况，画出函数图像的大致形状. 【例2】(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是________. （2）（2012·汉中模拟）已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，则f(-1),f(0)，f(2)从大到小的顺序为_______. 【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解. (2)根据函数f(x)的奇偶性先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图像，进而借助于单调性或图像比较出函数值的大小. 【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-mm2,即m2+m-20. 解得:m-2或m1. 所以m的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞). 答案：(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)方法一：因为y=f(x-2)的图像可由y=f(x)的图像向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图像关于直线x=0对称， ∴函数y=f(x-2)的图像关于直线x=2对称， 又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减, ∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增， 因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增， 又f(-1)=f(1),012, ∴f(2)f(-1)f(0). 方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图像的大致形状为 由图像知f(2)f(-1)f(0). 答案：f(2)f(-1)f(0) 【互动探究】若将本例(1)中条件变为:f(x)为［0,4］上的增函数，则m的取值范围如何？ 【解析】由题意知： ∴1m≤2. 【反思·感悟】1.已知函数y=f(x)的单调性，解含有符号“f”的不等式，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)) f（h(x)）”的形式，再利用单调性脱去符号“f”，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题常用数形结合法求解. 【变式备选】已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)= f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1． (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3. (3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围． 【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x10， ∴f(x2-x1)＞1 ， f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1＞0, ∴f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)在R上是增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴不等式f(3m2-m-2)＜3 即为f(3m2-m-2)＜f(2). 又∵f(x)在R上是增函数， ∴3m2-m-2