定积分的概念课件北师大选修.ppt

**********************定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，它表示函数曲线与坐标轴围成的面积。通过将曲线下的区域分割成无限多个矩形，并求其面积之和来定义定积分。函数的积分积分符号∫符号表示积分，表示对函数进行积分运算。面积积分与曲线的面积密切相关，积分值可以理解为曲线与坐标轴围成的面积。微积分积分是微积分中的核心概念，与微分互为逆运算，共同构成了微积分体系。2.积分概念的引出面积问题考虑一个曲线和坐标轴围成的图形,求该图形面积.分割求和将图形分割成许多小的矩形,计算每个小矩形的面积,并将所有面积加起来.极限思想当分割的矩形越来越小时,面积的求和越来越接近图形的真实面积.积分概念定积分的概念就是将分割求和的极限过程抽象化,成为一个更一般的数学概念.3.定积分的概念函数曲线与定积分定积分表示函数曲线与x轴之间的面积，它反映了函数在某个区间内的累积变化。定积分公式定积分由积分符号、被积函数、积分上下限和微元dx组成，它可以用来计算函数在某个区间上的积分值。定积分应用定积分在物理、几何、工程等领域有着广泛的应用，例如计算面积、体积、功、力等。定积分的性质11.线性性质定积分的线性性质是指定积分可以分配到被积函数的线性组合。22.可加性定积分的可加性是指，当积分区间被分成多个子区间时，定积分的值等于各个子区间上定积分值的和。33.积分中值定理积分中值定理表明，在连续函数的积分区间上，存在一个点，使得该点处的函数值乘以区间长度等于定积分的值。44.积分上限的导数变上限积分的导数等于被积函数在积分上限的值，该性质是微积分基本定理的核心内容之一。5.定积分的几何意义定积分的几何意义与曲线下的面积密切相关。在数学中，定积分可以用来计算函数曲线与横轴之间所包围的面积。定积分的几何意义是曲线下方的面积，它表示了函数在某个区间上的变化积累，这在实际问题中具有重要的应用价值。6.基本定积分公式基本积分公式定积分公式是计算定积分的基础。这些公式通常从微积分基本定理推导而来。例如，常数函数的积分公式是定积分的线性性质的体现。重要积分公式常数函数的积分公式幂函数的积分公式指数函数的积分公式三角函数的积分公式反三角函数的积分公式7.定积分的计算1积分公式熟练掌握基本积分公式，如幂函数、三角函数等的积分公式2积分技巧学习常用积分技巧，如换元积分法、分部积分法等3计算练习通过大量练习，熟悉定积分的计算步骤和技巧定积分的计算是理解和应用定积分的关键步骤。熟练掌握积分公式、积分技巧和计算方法是计算定积分的关键。通过大量的练习，可以提高计算定积分的能力。8.变上限定积分1定积分与变上限积分二者存在密切联系2变上限积分积分上限为变量3定积分积分上限为常数变上限定积分的概念在定积分的学习中非常重要，它可以帮助我们理解定积分与导数之间的关系，以及定积分的应用。变上限定积分是定积分概念的自然延伸，它可以用来表示定积分在积分上限变化时的变化规律。定积分的应用面积计算定积分可以用来计算平面图形的面积，例如曲边形的面积。体积计算定积分可以用来计算旋转体的体积，例如圆柱、圆锥的体积。弧长计算定积分可以用来计算曲线的弧长，例如圆弧的长度。物理问题定积分可以用来解决物理问题，例如求功、求力矩等。定积分的应用实例:平面图形的面积曲线与坐标轴利用定积分可以计算由曲线、直线和坐标轴围成的平面图形面积，这是一种非常重要的应用。分割与近似将图形分割成多个小矩形，并用这些小矩形的面积之和近似地表示图形的面积。极限与精确当分割的间隔趋于零时，近似值将越来越接近图形的真实面积，这就是定积分的本质。定积分的应用实例:立体图形的体积旋转体体积利用定积分可以计算由曲线绕轴旋转而成的旋转体的体积,例如圆锥、圆柱、球体等。不规则立体体积定积分可以计算各种形状的不规则立体图形的体积,例如由平面图形绕轴旋转而成的立体图形。体积公式定积分可以用来推导出常见的立体图形的体积公式,例如球体的体积公式:V=(4/3)πr3。12.定积分的应用实例:工作和功克服重力做功例如，一个人将重物从地面提升到一定高度，克服重力所做的功可以用定积分计算。拉伸弹簧做功拉伸弹簧时，施加的力会随着弹簧的伸长而变化，做功可以用定积分计算。水流做功水流从高处流下时，会推动水轮机做功，其功可以用定积分计算。13.定积分的应用实例:弹簧物理问题弹簧力弹簧力的大小与弹簧伸长或压缩的距离成正比，方向与弹簧的形变方向相反