2025年土木工程力学形考五题库.pdf

以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子》

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土木工程力学形考五题库

1.弯曲问题

一根长度为L的均质杆在一端固定，受到一个垂直于杆轴

的力P作用。求解杆的弯曲曲率和最大弯矩。

解答：设杆的截面面积为A，弹性模量为E，杨氏模量为

G。根据力平衡和几何关系，可以得到以下方程：

$$\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{M}{EI}=0$$

其中，u为杆的位移，M为弯矩，I为杆的惯性矩。对上述

方程进行两次积分，并考虑边界条件，可以得到杆的弯曲曲率

以及最大弯矩的公式：

$$\kappa=\frac{du}{dx}$$

$$M_{max}=\frac{PL}{4}$$

2.悬臂梁问题

一根长度为L的悬臂梁上承受均匀分布荷载q。求解梁的

挠度和最大剪力。

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勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备

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解答：设梁的截面面积为A，弹性模量为E，惯性矩为I。

根据悬臂梁的受力平衡和几何关系，可以得到以下方程：

$$\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{q}{EI}x=0$$

其中，v为梁的挠度。对上述方程进行两次积分，并考虑

边界条件，可以得到梁的挠度和最大剪力的公式：

$$v=\frac{qLx^2}{6EI}$$

$$V_{max}=\frac{qL}{2}$$

3.弹性基础问题

一个长为L，宽为b的矩形弹性基础底面受到分布应力q

的作用。求解应力分布的公式。

解答：设垂直于底面的应力为σ，根据弹性基础底面的受

力平衡和几何关系，可以得到以下方程：

$$\frac{d^2\sigma}{dx^2}+\frac{q}{D}=0$$

其中，D为弹性模量。对上述方程进行两次积分，并考虑

边界条件，可以得到应力分布的公式：

$$\sigma=-\frac{qx^2}{2D}+C_1x+C_2$$

其中，C1和C2为常数，通过边界条件可以确定。

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天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》

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4.弯曲梁问题

一根定端距离为L的梁上承受一个集中力F和一个均匀分

布荷载q。求解梁的挠度和最大弯矩。

解答：设梁的截面面积为A，弹性模量为E，惯性矩为I。

根据梁的受力平衡和几何关系，可以得到以下方程：

$$\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{M}{EI}=0$$

其中，v为梁的挠度，M为梁的弯矩。对上述方程进行两

次积分，并考虑边界条件，可以得到梁的挠度和最大弯矩的公

式：

$$v=-\frac{Fx^2}{2EI}+\frac{qLx^2}{24EI}+C_1x+

C_2$$

$$M_{max}=\frac{FL}{4}+\frac{qL^2}{8}$$