第九章能量法讲解.ppt

第九章 能量法 小 结 * 第一节 杆件应变能的计算 第二节 功的互等定理和位移互等定理 第三节 卡氏第二定理 第四节 莫尔定理 本章重点： 1、卡氏第二定理 2、莫尔定理 能量法: 用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。 在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计，外力的功W 全部转化为杆件的应变能Ve ，即： 第一节 杆件应变能的计算 一、轴向拉伸（压缩）时应变能计算 F F 力： 变形： 轴力为变量，应变能 杆件应变能密度： F Dl 扭转时外力作功 二、圆轴扭转时应变能计算 扭矩为变量，应变能 1.纯弯曲时，弯矩等于外力偶 三、直梁弯曲时应变能计算 2.横力弯曲时，弯矩为变量，应变能 M M θ ρ l 一般，令F为广义力，Δ为广义变形，当F由零开始缓慢增加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即： 若材料处于线弹性范围: 对于非线弹性材料: 四、应变能普遍表达式 杆件复杂变形时，取dx微段，若其上同时有FN (x) 、 Mx (x)、 M(x)作用，杆件的应变能： 集中力F作用于简支梁的C点，试用能量原理计算截面C的挠度wc。设EI为常数。 A B C F a b l A B C F a b l wc x2 x1 解：支座反力 梁上弯矩 CB段 AC段 梁的应变能 （方向向下） 由 得 第二节 功的互等定理和位移互等定理 考虑力的不同的加载顺序： A B F1 D11 D21 应变能 所以 A B F1 D11 D21 F2 D12 D22 A B F2 D12 D22 A B F1 D12 D22 F2 D11 D21 功的互等定理：在线弹性体上作用两组力，第一组力在第二组力引起的位移上作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上作的功。 二、位移互等定理 一、功的互等定理 因为 若F1=F2 位移互等定理：在线弹性体上作用两组相等的力，第一组力在第二组力引起的位移，等于第二组力在第一组力引起的位移。 图示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI，若B点的垂直位移为零，试用互等定理求FB。 图示简支梁。已知梁中点C作用F力时，B截面的转角 试求在B截面作用力偶矩 M 时，C点的挠度ΔC 解：根据功的互等定理 得 A B F qB l/2 l/2 C A B M Dc l/2 l/2 C A B FB a l F A B FB a l F A B F0=1 l D1 D2 解: 将F及FB作为第一组力；设想在同一悬臂梁右端作用单位力F0=1 ；作为第二组力。 在F0=1 作用下悬臂梁上的F及FB作用点的相应位移分别为： 功互等定理： 得： 设在外力F1，F2，…，Fi，… Fn（第一组力）作用下，其相应的位移为Δ1，Δ2，…，Δi，… Δn 。 设Fi有增量dFi（第二组力），其余不变，则相应产生位移增量dΔ1，dΔ2，…，dΔi，… dΔn 。略去高阶小量（dFi dΔi）/2，应变能增量为： 由功的互等定理： 第三节 卡氏第二定理 卡氏第二定理: A B F1 D1 F2 D2 Fi Di Fn Dn 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能Ve对于作用在杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于该载荷相应的位移。 A B F1 dD1 F2 dD2 Fi dDi Fn dDn dFi A B dD1 dD2 dDi dDn dFi 试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移，结构中两杆的长度均为 l ，横截面面积均为A。 B D C a F1 a 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为： F1 FBC FCD C 用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷。如果该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设一个广义力F，运用卡氏定理求广义位移，最后让该力F=0。 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP ,求C 端挠度和转角。 解：C端挠度，支座反力： AB段 BC段 A B C a FP l FA FB A B C a FP l x1 x2 FA FB A B C a FP l x1 x2 M C 端转角，在 C 端加力偶M。 AB段 BC段 第四节 莫尔定理及图乘法 一．莫尔定理（单位载荷法） 1.在梁上作用单位力： 2.再在梁上作用F1，F2，… F0作用时的应变能： M0(X)：沿待求位移方向作用单位力时梁截面上的弯矩。 设有外力F1，F2，…，Fi，… Fn作用在杆件上，如何求得任意位置C处的位移Δ？ A B F1 F2 Fi D Fn C A B D F0