d72可分离变量的微分方程.pptx

分离变量方程的解法:①设 y＝? (x) 是方程①的解, 则有恒等式 两边积分, 得 ②则有当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 同样,当F’(x)由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. = f (x)≠0 时,称②为方程①的隐式通解, 或通积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求微分方程的通解.说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,解: 分离变量得因此可能增、两边积分减解.或得即( C 为任意常数 )( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )由初始条件得 C = 1,故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求下述微分方程的通解:则解: 令 故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习:解法 1 分离变量即( C 0 )解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 微分方程的概念阶;定解条件;解; 微分方程;通解;特解说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解例如, 方程 y = – x 及 y = C 后者是通解 , 但不包含前一个解 .2. 可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 求下列方程的通解 :(1) 分离变量提示:(2) 方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 已知曲线积分求由与路径无关, 其中确定的隐函数解:因积分与路径无关 , 故有即因此有机动 目录 上页 下页 返回 结束