不等式算几不等式1两个正数的算几不等式设ab都是正数.DOC

PAGE 34南一版?高中重點便利讀選修數學(　Ι　) PAGE 34 PAGE 35第三章　不等式 PAGE 35 34章　不　等　式3第 34 章 　不　等　式 3 第 　算幾不等式 1.　兩個正數的算幾不等式： 　　設a，b都是正數，則恆有 EQ \F( a＋b , 2 ) 　≥　 EQ \R(, ab )，且等號成立的充要條件是a＝b。 1.　設x為實數，試證2x＋2－x　≥　2，又當x為何值時，等號才會成立。 　　　 eq \o(●,解)：∵　2x＞0，2－x＞0∴　 EQ \F( 2x＋2－x , 2 ) 　≥　 EQ \R( 2x．2－x )＝1 ? 2x＋2－x　≥　2，當2x＝2－x ? x＝0，故當x＝0時，2x＋2－x＝2。 2.　設x，y是正數，且3x＋2y＝36，求x2y2的最大值，又此時x，y之值各為何？ 　　　 eq \o(●,解)： EQ \F( 3x＋2y , 2 ) 　≥　 EQ \R( 3x．2y ) ? (　18　)2　≥　6xy ? 54　≥　xy? 2916　≥　x2y2　∴　x2y2最大值2916。等號成立時，3x＝2y ? x＝ EQ \F( 2 , 3 ) y，3x＋2y＝36 ? 4y＝36 ? y＝9，x＝ EQ \F( 2 , 3 ) y＝6。 2.　四個正數的算幾不等式： 　　設a1，a2，a3，a4都是正數，則 EQ \F( a1＋a2＋a3＋a4 , 4 ) 　≥　 EQ \R(4, a1a2a3a4 )，且等號成立的充要條件是a1＝a2＝a3＝a4。 3.　三個正數的算幾不等式： 　　設a1，a2，a3都是正數，則 EQ \F( a1＋a2＋a3 , 3 ) 　≥　 EQ \R(3, a1a2a3 )，且等號成立的充要條件是a1＝a2＝a3。 已知x，y為正數，且x＋2y＝12，求log4x＋log2y的最大值。 　　 eq \o(●,解)：log2y＝log4y2，故log4x＋log2y＝log4xy2∵　x＋2y＝x＋y＋y∴　 EQ \F( x＋y＋y , 3 ) 　≥　 EQ \R(3, xy2 )? 4　≥　 EQ \R(3, xy2 ) ? 64　≥　xy2，故xy2最大值為64，而log464＝3? log4x＋log2y最大值為3。而當x＝y時，即x＝4，y＝4時，log4x＋log2y有最大值。 4.　n個正數的算幾不等式： 　　設a1，a2，…，an是n個正數，n　≥　2，則 EQ \F( a1＋a2＋…＋an , n ) 　≥　 EQ \R(n, a1a2…an )，且等號成立的充要條件是a1＝a2＝…＝an。 　柯西不等式 ▲　一般化的柯西不等式：　設a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn是2n個實數，則( a1b1＋a2b2＋…＋anbn )2　≤　( a12＋a22＋…＋an2 ) ( b12＋b22＋…＋bn2 )。且等號存在的條件是a1＝a2＝…＝an＝0或存在實數k，使得b1＝ka1，b2＝ka2，…，bn＝kan。 1.　設a，b，c，d為實數，試證： EQ \F( 1 , 4 ) 　(　a2＋b2＋c2＋d2　)　≥〔 EQ \F( 1 , 4 ) 　(　a＋b＋c＋d　)〕2。 　　　 eq \o(●,證)：∵　(　a2＋b2＋c2＋d2　)．(　 EQ \F( 1 , 16 ) ＋ EQ \F( 1 , 16 ) ＋ EQ \F( 1 , 16 ) ＋ EQ \F( 1 , 16 ) 　) 　　≥　(　 EQ \F( a , 4 ) ＋ EQ \F( b , 4 ) ＋ EQ \F( c , 4 ) ＋ EQ \F( d , 4 ) 　)2∴ EQ \F( 1 , 4 ) 　(　a2＋b2＋c2＋d2　)　≥〔 EQ \F( 1 , 4 ) 　(　a＋b＋c＋d　)〕2。 2.　設x，y，z為實數，且x＋2y＋z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值，又此時，x，y，z之值各為多少？ 　　　 eq \o(●,解)：(　x2＋y2＋z2　)　(　12＋22＋12　)　≥　(　x＋2y＋z　)2? (　x2＋y2＋z2　)．6　≥　36? x2＋y2＋z2　≥　6，故x2＋y2＋z2的最小值為6，當等號成立時，x＝k，y＝2k，z＝k∵　x＋2y＋z＝6 ? k＝1，故x＝1，y＝2，z＝1。 　解一元n次不等式 1.　設f　(x)　是一個實係數n次多項式，則形如f　(x)＞0，f　(x)　≥　0，f　(x)＜0，f　(x)　≤　0的不等式稱為一元n次不等式。 2.　解：所謂解不等式就是找出滿足該不等式的全部的實數解。 1.　解一元二次不等式12