线性规划问题解的基本性质和几何意义课件.ppt

§3线性规划问题的基本性质 3.1解的基本概念 定义4 在(LP)的一个基可行解中，如果它的所有的基变量都取正值（即非零分量恰为m个),则称它是非退化的解；反之，如果有的基变量也取零值，则称它是退化的解。一个(LP),如果它的所有基可行解都是非退化的，就称该问题是非退化的，否则就称它是退化的。 表3-1 C D F G B E O A 图3-1 l3 l2 l1 7 4 6 5 3 2 1 10 0 6 5 4 3 2 1 8 7 9 x2 x1 由此例可以看出：（1）线性规划问题的每个基本解是原问题两个边界约束方程交点，（2）每个基本可行解对应于可行域的顶点。 3.2 解的基本性质 推论1:(LP)的满足约束方程组的任意一个解 是基本解的充要条件是它的非零分量所对应的列向量线性无关。 定理2: 若(LP)有可行解，则它必有基可行解。 定理1:(LP)的可行解 是基可行解的充要条件是它的非基变量所对应的列向量线性无关。 定理3:若(LP)有最优解，则一定存在一个基可行解是它的最优解。 §4线性规划问题解的基本性质 1、凸集定义：设C是n维欧氏空间En的一个集合，若C中的任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在C中，则称C为凸集。 即：若任意两点x(1),x(2) ∈C，存在0≤λ≤1 使得x=λx(1)+(1- λ)x(2) ∈ C,则称Ｃ为凸集. x=λx(1)+(1- λ)x(2)∈ C称为x(1),x(2)的凸组合。 凸集 非凸集 定理4 线性规划问题（ＬＰ）的可行解集 　 Ｄ＝｛Ｘ｜ＡＸ＝ｂ，X=0} 是凸集。 定理5 线性规划问题的可行解集D中的点x是顶点(极点)的充分必要条件是：x是基础可行解。(极点与基可行解的等价性定理)