第五次作业-结构-变分原理.docx

变分原理在结构分析中的应用摘要：变分法是研究力学、物理学和其他各种技术科学的强有力的工具，本文从变分原理的基本理论出发，讲解变分法及其相关理论在结构分析中的应用。长期研究表明，变分原理是研究很多复杂结构的基础。关键词：变分原理；结构分析；应用1 引言现代结构大多是由多个不同维数和不同性能的结构构件耦合或杂交而成的组合结构体系。例如: 框剪、框筒、筒中筒、巨型框架等高层结构; 网架、网壳、索穹顶、索承穹顶、张弦梁、索桁架等大跨度结构。这些结构由于其复杂性，不能通过常规的方法得到其精确的解[1]。现代结构的分析方法，基本上可以分为两大类: 一类是有限元法，即将所分析的结构采用离散化的数学模型[2-4]；另一类是连续化法，即将所分析的结构采用连续化的数学模型[5-7]。但是这两类方法的数学理论基础都是一样的，均可归结为求泛函的极值或驻值的变分问题[8, 9]。国内外学者都十分重视变分原理的研究与应用，因为它是现代结构理论分析与简化计算的出发点[10]。2 变分原理在结构工程中的应用2.1 薄板弯曲问题中的变分原理在结构分析力学中，有位移法和力法，在能量变分直接法中，与之对应的有势能原理与余能原理，前者以位移为未知数，后者以内力为未知数。故用势能原理分析时，选用位移函数，用余能原理分析时，选用内力函数。从理论上讲，欲求结构的位移可以采用势能原理，欲求结构的内力可以采用余能原理[2, 3]。2.1.1 势能原理解法：薄板在均布荷载作用下的总势能为：（1）式中：为薄板的挠度；为泊松比；与为矩形薄板的边长。选择位移函数： （2）式中：为待定常数；为位移函数基，应尽可能满足边界上的位移条件，而且还必须满足连续条件。将（2）代入式（1）积分后由势能驻值原理： （3）式（3）为个代数方程式，解之得及的值。2.1.2 余能原理解法[11]：薄板在均布荷载作用下的总余能为： （4）式中，及为薄板的内力矩。要求内力函数应先满足薄板的平衡条件，并且尽可能满足力的边界条件。对于这个内力函数，要选择恰当的逼近函数是有些困难的，为了克服这个困难，可先让满足力的边界条件，然后将它与和共同考虑，选出能满足平衡方程的函数形式。薄板的平衡方程为: （5）选择内力函数: （6）式中： 为待定常数；可以选择满足薄板在边界上对扭矩限制条件的函数，如在自由角点要求为零，然后选择和，如： （7） （8）式中: 及为待定常数；和均为一个自变量的函数，甚至可以选为常数。显然式( 6) ～ ( 8 ) 已满足平衡方程( 5 ) 。将式( 6) ～ ( 8) 代入式( 4) 积分后由余能驻值原理：， ， （9）可得到式( 9 ) 为3n 个代数方程式，解之可求出3n个待定常数及，和等值。2.1.3 能量变分法与有限元法：有限元法是我国和国外各自独立地创造发展起来的。冯康参与了我国有限元法的创始与理论奠基工作[3]，早在20 世纪60 年代前期就曾认为，在计算机的配合下这一方法会使固体力学问题得到实际解决。能量变分法在有限元法的创造发展中所起的作用，正如冯康在其专著[3]的序中所写的: “大家知道，变分原理是弹性理论的数学表达方式之一，它虽不是唯一的方式，但确定是充足的，即可以处理几乎一切弹性问题。大家也知道，基于位移的势能极小原理在弹性理论的变分原理中虽不是唯一的，但同样确实是充足的，而且具有最大的通用性，特别适用于复杂性大的问题。还应该指出，有限元法正是基于变分原理这一数学形式，特别是取以位移为基础的变分原理的形式之后，才在实践上取得巨大成功”。有限元法[12]采用离散化数学模型，将结构离散成若干有限元后，进而采用能量变分法导出其刚度矩阵[13]。具体步骤： 1）由能量原理建立有限元的总势能；2）由有限元的节点边界条件选出位移函数；3）由势能驻值原理建立联立方程式； 4）解之可得有限元的刚度矩阵。在薄板弯曲问题中，将薄板离散成若干有限元，其形状为三角形或四边形，取其节点的位移（挠度及转角）为基本未知参数，由能量原理建立有限元的总势能（式（1）），然后由势能驻值原理导出有限元的刚度矩阵。当选择的位移函数能保证挠度和转角满足连续条件的称为协调元，若只能保证挠度的连续性，而转角有可能不连续，称为部分协调元。文[1]介绍了三角形元，分别采用6 个位移参数和9 个位移参数的部分协调元，还介绍了矩形元采用12 个位移参数的部分协调元。从理论上讲，协调元比较理想，因为它严格遵守了变分原理。为此，文[1]还介绍了二次分片插入法、杂交法、条件极值法及分项插入法等协调元。这些协调元也都是以节点上的广义位移参数作为基本未知数。2.2 梁弯曲问题中的变分原理[2, 3]将梁离散成若干有限元，设其起点是，终点是，长，坐标原点设在点上。令：，有限元的总势能： （10）选位移函数： （11）式中：为挠度；