八十五年度第一学期二年级第二三类组第一次月考.doc

PAGE  PAGE 55 【複習資料─排列組合與機率】 1. 加法原理完成一事件 E 有 n 類方法 , 其第 k 類方法有 mk 種 , k = 1 , 2 , 3 , , n且這 m1 , m2 , m3 , , mn 中任兩種方法均不同 ; 若只要任選其中一類中之任一種方法 , E 就可完成 , 則完成 E 的方法有 m1 + m2 + m3 + + mn 種 . 2. 乘法原理完成一事件 E 需要 n 個獨立步驟方能完成 , 若其第 k 個步驟有 mk 種方法 , k = 1 , 2 , 3 , , n 則完成 E 的方法有 m1 ? m2 ? m3 ? ? mn 種 . 3. 樹形圖有些計數問題 , 加法與乘法混淆在一起 , 可用樹形圖解之 .a. 若主幹有 m 個分支 , 而其中每一分支亦均有 n 個分支 , 則此樹的末梢共有 m ? n 分支 . ( 此即乘法原理 )b. 若主幹有 m 個分支 , 而其中每一分支的分支數不盡相等 , 則此樹之末梢總分支 數需由加法與乘法一起配合計算之 . 4. 由 n 件不同的事物中 , 任選 r 件 ( r ? n ) 排成一列的排列總數為  P( n , r ) = = n( n－1 )( n－2 ) ( n－r + 1 ) = 5. 由 n 件不同的事物中 , 全取排成一列的排列總數為  P( n , n ) = = n( n－1 )( n－2 ) 3 ? 2 ? 1 = n! , n! 讀作 n 階乘 . 因 P( n , r ) = , 所以 P( n , n ) = 而 P( n , n ) = n! , 故規定 0! = 1 【註】取出的事物要考慮先後順序 , 稱為排列 ; 取出的事物不考慮先後順序 , 稱 為組合 . 6. 給正整數 A = , A 之正因數型式必為 , 其中 0 ??x???3 , 0 ? y ? 4 , 0 ??z???1而 x 之取法有 ( 3 + 1 ) 種 , y 之取法有 ( 4 + 1 ) 種 , z 之取法有 ( 1 + 1 ) 種 ,由乘法原理知 , A 之正因數共有 ( 3 + 1 )( 4 + 1 )( 1 + 1 ) = 40 個 . 7. n 物中有 m 個相同 ( m ? n ) , 其餘均不同 , 則 n 物全取之直線排列數為 . 8. 設有 n 件物品 , 含有 k 種不同種類 , 其第一類有 m1 件 , 第二類有 m2 , 其第 k 類有 mk 件 ( 其中 m1 + m2 + + mk = n ) , 則將此 n 物排成一列的方法數為 9. 在 n 類不同物中 , 每次取 r 個作直線排列 , (1) 若同一物不重複取 ( 即不重複排列 ) , 其方法有 種 . ( r ? n )  (2) 若同一物可重複取 ( 即可重複排列 ) , 其方法有 種 . 10. 自 n 件不同物中 , 取 r 個作組合 ( 不論次序 ) , 其方法數為 11. (1) = = 1(2) = (3) 為一正整數 , 其中 n , r ? N , 12. 設 n 及 r 為正整數 , 且 n r , 則 = + (巴斯卡定理) 13. 有 A、B、C、D、E、F、G、H、I 等 9 人 , 依下列條件分組 , 分法若干 ? (1) 均分成三組 , 分法為 (2) 均分成甲、乙、丙三組 , 分法為 (先分堆，再排列) (3) 均分成三組且 A , B 同一組 , 分法為 (4) 均分成三組且 A , B 不同組 , 分法為 14. 排容原理 a. n(A∩B ) = n(U) ??n( A∪B) = ?? n(A) ? n(B) + n(A∩B)b. n(A∩B ∩C ) = n(U) ? n(A∪B∪C) = 15. 重複組合 自 n 類不同物中 , 取出 r 個的重複組合總數 = . 16. 二項式定理  = ( 第r＋1項為 ) ※ 多項式定理： , 共有 項 17. 可以預知所有可能出現結果的試驗 , 稱隨機試驗 . 某一隨機試驗中 , 一切可能出 現之結果所成之集合稱為樣本空間 , 以 S 表之 . 樣本空間 S 中之任一元素 s ,稱為一樣本點 . 樣本空間 S 中之任一子集 A , 稱為一事件 . φ 亦為一事件 , 表示不可能發生的事件 . 一隨機試驗中 , 樣本空間 S 由有限個樣本點所組成 . 假設每一樣本點出現的機 會相等 , A 為