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Finsler几何及Sasaki几何中的若干问题的开题报告

题目：Finsler几何及Sasaki几何中的若干问题

摘要：

Finsler几何是非黎曼几何中的一个分支，是一种几何结构，它一般情况下考虑的是弧长的率函数与切向量的线性组合，不同于黎曼几何使用点间距离的度量。本文主要研究Finsler几何及Sasaki几何中的一些问题，其中包括：

1.Finsler度量的标量曲率及其性质；

2.Finsler度量的体积元的表达式；

3.Finsler度量下的测地线问题；

4.Sasaki度量下的Einstein方程组解的性质。

关键词：Finsler几何；Sasaki几何；标量曲率；体积元；测地线；Einstein方程组

正文：

1.Finsler度量的标量曲率及其性质

Finsler度量的标量曲率是用来描述该几何结构下的曲率的性质，与Riemann几何中的Riemann曲率有类似的地位。Finsler几何中的标量曲率被定义为Finsler度量的Hessian矩阵的迹。Finsler度量的Hessian矩阵是一个二阶张量，它描述了Finsler度量的二阶导数信息，从而可以刻画出Finsler度量在该点附近的曲率。在Finsler几何中，标量曲率是一个非常重要的量，它能够描述Finsler度量在某一点上的几何性质，例如曲率、哪些方向上有最大的曲率、光滑曲线的扭曲程度等等。

2.Finsler度量的体积元的表达式

Finsler几何中的体积元是用来描述空间中物体的大小的，它通常被用来计算几何结构下的体积和测度。在Finsler几何中，体积元通常是由Finsler度量的Hessian矩阵和一个标量体积函数决定的，从而我们可以推导出Finsler几何中体积元的表达式。体积元的表达式是一个二阶张量，用来描述某个区域内物体的体积大小和形状。

3.Finsler度量下的测地线问题

测地线是称为是该几何结构下最短路径的道路。在Finsler几何中，由于使用的度量不同于黎曼度量，因此其测地线的性质也存在着一些差异。我们可以通过使用度量与其共轭度量的信息来描述Finsler度量下的测地线问题。例如，我们可以利用Finsler度量的Hessian矩阵来研究其测地线问题。Finsler度量下的测地线问题是一个重要的研究方向，它的研究对于理解Finsler几何结构的曲率和几何形状有很大的帮助。

4.Sasaki度量下的Einstein方程组解的性质

Sasaki几何是以Sasakian流形为基础的一种几何结构，它广泛应用于同调拓扑学、超对称理论等领域。我们可以利用Sasaki度量下的Einstein方程组来描述该结构下的曲率性质，进而研究其拓扑性质和物理应用。在本文中，我们将研究Sasaki度量下的Einstein方程组解的性质，例如其存在性、局部性质、奇点情况等等。

总结：

本文将主要研究Finsler几何及Sasaki几何中的几个问题，包括Finsler度量的标量曲率及其性质、Finsler度量下的体积元的表达式、Finsler度量下的测地线问题和Sasaki度量下的Einstein方程组解的性质。这些研究有助于理解非黎曼几何的几何结构及其性质，对于实际应用具有很好的意义。