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几何光学中的矩阵分析方法 俞宽新 王鹏 陈雪 何士雅 胡曙阳 （北京工业大学应用数理学院，北京100022） 摘要：本文介绍了一种光线变换矩阵，给出直线传播、球界面折射、薄透镜折射的光线变换矩阵。 并使用这些矩阵讨论了几何光学中的一些问题，包括薄透镜焦距计算公式、薄透镜成像公式等。 关键词：光线变换矩阵，几何光学，透镜焦距，透镜成像 在几何光学中，许多规律如薄透镜焦距计算公式、薄透镜成像公式等都是利用几何方法得到的， 本文介绍的光学变换矩阵法，是利用矩阵代数来分析推导这些结论，该方法简单明了，可以用于更 复杂的光学系统。 1. 光线变换矩阵 一条近轴光线在通过某一个光线系统时，总会发生变化，我们用光线在平面上的坐标来描述这 种变化。如图 1 所示为一条光线向右上方传播，定义 r 为光线的位置坐标，大小等于光线与平面 CD 的交点 P 到系统轴线 AB 的距离，当交点在轴线上方时取正， 反之取负。定义θ为光线的方向坐标，大小等于光线传播方向与 系统轴线方向所夹的锐角，当光线向上传播时取正、反之取负。 如图 1 中的r 与θ就都是正的。将两个坐标放在一起，定义一个 2×1 阶矩阵为坐标矩阵： ⎛r ⎞ X ⎜⎜⎝θ⎠⎟⎟ 图 1 光线的坐标矩阵 （1） 若光线在光学系统的输入平面与输出平面上的坐标矩阵分别为X 和X ，则满足X =TX 关系的矩阵T 1 2 2 1 称为光线变换矩阵，是一个 2×2 阶的矩阵。下面我们来讨论几种基本光线变换矩阵。 1.1 直线传播 设任意传播方向的一条近轴光线在系统的轴线方向上传 播了L距离，如图 2 所示。显然在输入、输出两个面上的方向 坐标没有发生变化，即θ=θ ；但位置坐标发生了变化，有 2 1 r =r +Lθ ，故可以写出光线变换矩阵为 2 1 1 ⎛1 L ⎞ T0 ⎜⎜⎝1 ⎠⎟⎟ （2 ） 图2 直线传播的光线变换矩阵 1.2 球界面折射 假设两种不同介质的界面为球面，光线从介质 1 入射到 界面上，发生折射后进入介质 2 ，如图 3 所示。介质 1、2 的折射率分别为n 、n ，球界面的曲率半径为R 。我们称曲 1 2 率中心在入射区的球界面为凹面、曲率中心在折射区的曲界 面为凸面，图 3 所示为凹面。O点为界面的曲率中心，A为 入射点，C为界面中点，i 、i 分别为入射角和折射角，α为 1 2 AC弧所对圆心角。这时的输入面与输出面重合，故入射光 线与折射光线的位置坐标一样，即r =r 。入射光线与折射光 图3 球面折射的光线变换矩阵 2 1 线的方向坐标分别为θ和θ ，按照图示的方向，它们的符号 1 2 都是正的。从图中不难得到α与上述角的关系有： i =+ α i θ +θ （3 ） 1 1 2 2 在近轴光线的条件下，α角所对的圆弧近似等于r1，因此它又可以表示为： r1 α （4 ） R 由折射定律有n sini =n sini ，而近轴光线条件下，i 、i 都很小，故折射定律可写成： 1 1 2 2 1 2