……等于么？.doc

0.999…………等于1么？ 0.999………=1？ 说到无穷数谜，大多数人第一次遇到的就是：0.999…………无限重复下去，最后会等于1么？ 在芝诺悖论中，一个人如果要过街，他首先走完总程的1/2，接着走完剩下1/2的1/2，以此类推，无穷尽也……理论上这个人永远无法到达街对面，但在现实中这却花不了多长时间。 从魔兽世界游戏中的留言板到安·德兰论坛，大家对这个问题的争论非常火爆。对于芝诺悖论，大多数人都觉得题中人最后会到达街对过。可同样的情形放到循环小数里，直觉就会告诉你0.999……怎么也不会等于1啊。光是看就知道0.999……比1小，但是差的却不多……大家都认为0.999……这个数只是不断接近目标，却永远也不会达到。 不过，他们的老师(包括我在内)，会说：错，0.999……就是1。 想要说服人们站到我这边，我就要用下面的方法： 众所周知， 0.33333……=1/3 两边同时乘以3得到0.999…… = 3 / 3 = 1 如果这还不足以让你动摇，试试把0.999……乘上10，也就是将小数点向右挪了一位，所以我们得到了 10 x (0.999……) = 9.999…… 现在把两边的烦人小数都去掉，我们在等式两边同时减去0.999………… 10 x (0.999……) - 1 x (0.999……) = 9.999…… - 0.999……………… 得到了9 x (0.999……) = 9. 什么数乘以9会等于9？自然是1。 对于大部分人，这种证明方法就足够了。但是老实说，这套证明体系缺了点什么，也没有真正解决0.999……=1的不确定。事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏，你不会真的以为1/3=0.333…………吧？比起相信1/3=0.333……，其实还有更可怕的： 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ……? 省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去，每次相加的数字大小都是上一次的两倍。这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。但是你试试乘以2，会发生什么？ 2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ……) = 2 + 4 + 8 + 16 + …… 好像和原来的和差不多，只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ……)前面多了个1，所以(2 + 4 + 8 + 16 + ……)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ……)小1，换句话说： 2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ……) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ……) = -1 相减得到： 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …… = -1 将越来越大的数字相加无限次，结果却等于-1？ 更疯狂了来了，求下列无穷和： 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …… 有人会这样理解： (1-1) + (1-1) + (1-1) + …… = 0 + 0 + 0 + …… 除了上面这种和为0的观点，还有一种理念认为应该这样看待算式： 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - …… = 1 – 0 – 0 – 0 …… 结果和为1，到底是0还是1？还是“一半时间是0，一半时间是1？”最后的值是多少取决于你停在那里，但是无穷和是不会停的！ 先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和： T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …… 两边同时取负 -T = -1 + 1 - 1 + 1 - …… 我们注意到右边刚好是T-1，也就是说： -T = -1 + 1 - 1 + 1 - …… = T - 1 所以-T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解？ 你是不是还是觉得没有道理？但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ……最后会出现分数解，许多时候，人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ……称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中，格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2，这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程，许多当时的著名数学家，包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算，不过不包括他的证明过程。 实际上，0.999……之谜的答案还需要更深入的探索。你无须勉强同意我的代数解法，你完全可以坚持认为0.999……不等于1，而等于1减去一个无穷小的数。既然说到这里，0.333……同样不等于1/3，同样差无穷小的那么一点点。要证明这点需要一点力气，不过也不是做不到。在数学领域，非标准分析这门学科就是专门研究这种数字问题的。非标准分析理论由亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪中期创立，也正是非标准分析的出现，人们才终于搞清楚了无穷数的概念。要研究