第13节 庞敕拉方法 .ppt

课程回顾 第六章 微分方程的初值问题 微分方程（组） 线性微分方程的通解 常系数线性微分方程的通解 微分方程的初值问题与边值问题 一阶微分方程的解 一阶微分方程解的良态性 欧拉方法 欧拉方法 欧拉方法 欧拉方法的误差 欧拉方法的误差 欧拉方法的局部误差 欧拉方法的收敛性 欧拉方法步长与收敛性 欧拉方法的稳定性 梯形公式 改进型欧拉方法 改进型欧拉方法 总结 * 插值型积分： 插值型积分的概念 梯形积分 Simpson积分 Newton-cote 积分 代数精度的概念、判定方法 高斯型积分： 高斯积分的概念 高斯积分的计算 加权高斯性积分 积分方程 第一节 欧拉方法 也叫做：左矩形数值求积公式建立Euler法 也叫做：右矩形数值求积公式建立Euler法 欧拉方法误差随着迭代次数的增加而增加。 由于单步误差在迭代过程中产生积累，从而产生的误差为积累误差。 前向欧拉方法具有一阶精度； 同样可以证明，后向欧拉方法具有一阶精度。 欧拉方法收敛性分析迭代法与真实解变化趋势的差异。 步长h=1/7 步长h=1/10 真实值 步长选择不同导致数值方法的收敛性不同 注意：隐式欧拉方法收敛性与步长无关！！ 欧拉方法稳定性分析微小误差在迭代过程中积累的情况。 几何意义：是欧拉折线法与后向欧拉法的算术平均。 精度高于前向/后向欧拉算法。 梯形公式虽然提高了精度，但仍是隐式方法，算法复杂，运算量大。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改进的欧拉公式。先用欧拉折线法得到初步近似值，再用梯形公式校正。 *