第八章M通道滤波器组-Read.doc

第8章 M通道滤波器组 8．1 M通道滤波器组的基本关系 图8.1.1是一个标准的M通道滤波器组。 图8.1.1 M通道滤波器组 由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： (8.1.1) 及 (8.1.3) 滤波器组的最后输出 令 则 这样，最后的输出是的加权和。由于 (8.1.7) 在时是的移位，因此，是及其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在时，是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证 (8.1.8) 则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真. 再定义 (8.1.9) 显然，是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。这时，是否对产生幅度失真和相位失真就取决于的性能。若是全通的，也即，那么滤波器组可避免幅度失真，若再具有的形式，那么滤波器组又将消除相位失真。因此，（8.1.9）式的和（7.2.4）式的一样，都称为“失真函数”。 由（8.1.5）式，能否为零取决于的性质。将该式写成矩阵形式，有 (8.1.10) 令 (8.1.11) 并令（8.1.10）式右边的矩阵为，则在去除混迭失真的情况下，有 (8.1.12) 式中的第一行是，第二至第M-1行分别是由这M个滤波器的依次移位所构成。因此，又称“混迭分量（Alias Component，AC）矩阵”。它等效于两通道情况下由（7.2.8a）式给出的矩阵。 由（8.1.12）式，我们有 (8.1.13) 为保证去除混迭失真，可选。这样，若已知，即可求出综合滤波器组。且整个的M通道滤波器组还具有PR性质。但（8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为： (8.1.14) 式中是的伴随矩阵。 若是FIR的，显然det也是FIR的，这时将变成IIR的； 若选择，这时可保证是FIR的，但由于，因此的阶次将远大于； 若有零点在单位圆上，的幅度将会产生较大的失真。 此外，由（8.1.13）式或（8.1.14）式并不容易找出、的关系以及自身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失真及探讨实现PR的途径。 8．2 M通道滤波器的多相结构 仿照（7.6.9）和（7.6.10）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为： (8.2.1) 写成矩阵形式，有 (8.2.2) 记 并记（8.2.2）式右边的矩阵为，则 (8.2.4) 称为多相矩阵，而是由上一节的AC矩阵的第一列构成的。同理，对综合滤波器组按第二类多相结构展开，有 (8.2.5) 写成矩阵形式： 记该式右边的多相矩阵为，则（8.2.6）式可写为如下更简洁的形式： (8.2.7) 式中已在（8.1.11）式中定义，。利用（8.2.2）和（8.2.6）式，图8.1.1的M通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒等变换，又可改成图（b）和（c）的形式。 在图（c）中， 该图的得到过程与图7.6.1和图7.6.2的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵和的分析，或简单的的分析。若为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。 至此，我们已讨论了M通道滤波器组的两种表示形式，一是用（8.1.10）式的AC矩阵表示的形式，二是用（8.2.2）式表示的多相形式。在深入讨论、的性能对整个系统PR性能的影响之前，我们先讨论一下，AC矩阵和多相矩阵的关系。 由（8.2.3）式对的定义及（8.1.10）式对的定义，我们有 (8.2.8) 由（8.2.2）式，又可表为 图8.2.1 M通道滤波器组的多相结构； (a)直接表示； (b)利用恒等变换后的表示； (c)进一步的简化表示 记