凸函数的性质及其在最优化理论中的应用--毕业论文.doc

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凸函数的性质及其在最优化理论中的应用

摘要给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用．

关键词凸函数；非线性规划；梯度；凸规划

ThePropertyofConvexFunctionandItsApplicationinOptimization

Abstract：Thispaperdealswithsomequestionsofconvexfunction.Firstofallwegiveadefinitionofconvexandit’scalculationcharacters.Nextweprovethemindetails.Thensomeequaldefinitionsaregivenandprovedbyturns.Afterthatapplicationsofconvexfunctionarediscussedincludingseveralexamples．

Keywords：Convexfunction；Nonlinearprogramming；Gradient；Convexprogramming

1前言

在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题．

2预备知识

2.1[1]一般非线性规划的数学模型

SKIPIF10

SKIPIF10(1)

(1)式中SKIPIF10是SKIPIF10维向量．SKIPIF10都是SKIPIF10的映射（即自变量是SKIPIF10维向量，因变量是实数的函数关系）．

与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记

SKIPIF10．

称SKIPIF10为可行域．因此模型(1)式有时可简记为

SKIPIF10．

2.2[2]凸集

设SKIPIF10是SKIPIF10维欧式空间的一点集，若任意两点SKIPIF10的连线上的所有点满足SKIPIF10，

则称SKIPIF10为凸集．

2.3[3]水平集

设函数SKIPIF10定义在集合SKIPIF10上，则称集合SKIPIF10且SKIPIF10为SKIPIF10在集合SKIPIF10上关于数SKIPIF10的水平集．其中SKIPIF10是一个数，SKIPIF10．

这里SKIPIF10水平集，指的是满足SKIPIF10的那部分SKIPIF10的集合，即为SKIPIF10的一个子集．如下图1-1所示：

H

Hs（f，β）

x

f(x)

β

0

图1-1

2.4[3]梯度

设多元函数SKIPIF10，若在点SKIPIF10处对于自变量SKIPIF10的各分量的偏导数SKIPIF10都存在，则称函数SKIPIF10在点SKIPIF10处一阶可导，并称向量SK