2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第三章 第3节.doc

第3节　定积分与微积分基本定理 最新考纲　1.了解定积分的实际背景了解定积分的基本思想了解定积分的概念几何2.了解微积分基本定理的含义. 知 识 梳 理 定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a]上连续用分点将区间[a]等分成n个小区间在每个小区间上任取一点ξ(i＝1)，作和式(ξi) f(ξi)，当n→∞时上述和式无限接近于某个常数这个常数叫做函数f(x)在区间[a]上的定积分记作(x)dx，即(x)dx＝ 在(x)dx中分别叫做积分下限与积分上限区间[a]叫做积分区间函数f(x)叫做被积函数叫做积分变量(x)dx叫做被积式. (2)定积分的几何意义 x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a＝b＝0及曲线y＝(x)所围成的曲边梯形的面积 (x)＜0 表示由直线x＝a＝b＝0及曲线y＝(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积位于x轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)(x)dx＝k(x)dx(k为常数). (2)[f(x)±f2(x)]dx＝(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝(x)dx＋(x)dx(其中a＜c＜b). 微积分基本定理 一般地如果f(x)是在区间[a]上的连续函数且(x)＝(x)，那么(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把(b)－(a)记为F(x)即(x)dx＝(x))＝(b)－(a). [常用结论与微点提醒] 函数f(x)在闭区间[－aa]上连续则有 (1)若f(x)为偶函数则(x)dx＝2(x)dx. (2)若f(x)为奇函数则(x)dx＝0. 若积分式子中有几个不同的参数则必须先分清谁是被积变量. 定积分的几何意义是曲边梯形的面积但要注意：面积非负而定积分的结果可以为负. 诊 断 自 测 思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a]上连续则(x)dx＝(t)dt.(　　) (2)曲线y＝x与y＝x所围成的面积是(x－x)(　　) (3)若(x)dx0，那么由y＝f(x)＝a＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(　　) (4)定积分(x)dx一定等于由x＝a＝b＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.(　　) (5)加速度对时间的积分是路程.(　　) 解析　(2)y＝x与y＝x所围成的面积是(x－x)dx. (3)若(x)dx0，那么由y＝f(x)＝a＝b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大. (4)定积分(x)dx等于由x＝a＝b＝0及曲线y＝f(x)所围成图形的面积的代数和. (5)加速度对时间的积分是 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× (选修2－2改编)已知质点的速度v＝10t则从t＝0到t＝t质点所经过的路程是(　　) B.5t C.t D.t 答案　 3.直线y＝4x与曲线y＝x在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　) B.4 C.2 D.4 解析　如图＝4x与y＝x的交点 (2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积. 阴＝(4x－x)dx＝ ＝8－＝4. 答案　 4.汽车以v＝(3t＋2)作变速直线运动时在第1 至第2 间的1 内经过的位移是(　　) m B.6 m C. m D.7 m 解s＝(3t＋2)＝ ＝＋4－＝10－＝(). 答案　 5.若＝9则常数a的值为________ 解析　＝＝－＝9＝－27＝－3. 答案　－3 考点一　定积分的计算(典例迁移) 【例1】 (1)(2017·合肥模拟)(＋1)＝________ (2)|x2－2x|＝________ (3)(2x＋)＝________ 解析　(1)(＋1)＝(＋x)＝ (2)|x2－2x|＝(x－2x)＋(2x－x)dx ＝＋＝＋4＋4－＝8. (3)表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的 ∴dx＝ 又∵＝x＝1 ∴(2x＋)＝＋ ＝1＋ 答案　(1)　(2)8　(3)1＋ 【迁移探究1】 若将例1(1)中的积分变为(＋a)＝2求实数a的值. 解　(＋a)＝(＋ax)＝a即a＝2故a＝2. 【迁移探究2】 若将例1(3)中的条件变为(2x＋)＝2其中a0求实数a的值. 解　a为半径的圆的面积的 ∴dx＝又∵＝x＝0 ∴(2x＋)d＝＋＝即＝2＝4又a0故a＝2. 规律方法　(1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： 对被积函数要先化简再求积分； 求被积函数为分段函数的定积分依据定积分“对区间 ③若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算. (2)运用定积分的几何意义求定积分当被积函