《函数的单调性习题》课件.ppt

函数的单调性习题

课程学习目标掌握函数单调性的概念理解函数单调性的定义，并能判断函数的单调性。熟练运用单调性判定方法掌握求函数单调区间的方法，并能运用这些方法解决实际问题。提高解题能力通过练习解题，提高对函数单调性的理解和运用能力。

函数的单调性概述函数的单调性描述了函数值随自变量的变化趋势。当自变量增大时，函数值也随之增大，则函数称为单调递增函数；当自变量增大时，函数值随之减小，则函数称为单调递减函数。函数的单调性是函数性质的重要组成部分，在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用。

函数单调性的判定依据单调递增若对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在该区间上单调递增。单调递减若对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在该区间上单调递减。

函数单调性的求解方法1导数法利用导数判断函数的单调性2定义法根据单调性的定义直接判断3图像法通过函数图像观察函数的单调性

示例1:求函数f(x)=3x^2-2x+5的单调性求导数首先求出函数f(x)的导数，即f(x)=6x-2.确定导数的符号接下来，根据导数的符号，判断函数的单调性。f(x)=6x-2=0时，x=1/3。当x1/3时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x1/3时，f(x)0，函数f(x)单调递增。总结因此，函数f(x)=3x^2-2x+5在x1/3上单调递减，在x1/3上单调递增。

示例2:求函数g(x)=2sin(x)-3cos(x)的单调性1求导g(x)=2cos(x)+3sin(x)2解不等式g(x)03求解区间求出g(x)0的解集4确定单调性根据解集确定函数的单调递增区间和单调递减区间

示例3:求函数h(x)=(x^2+3)/(2x-1)的单调性1求导首先，求函数h(x)的导数：h(x)=(2x^2-2x-6)/(2x-1)^2.2解不等式接着，解不等式h(x)0，得到x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).3结论因此，函数h(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递减。

示例4:求函数f(x)=1/x的单调性1求导f(x)=-1/x^22判断符号f(x)0,x≠03结论f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减

示例5:求函数g(x)=(x^3+2)/(x^2-1)的单调性1.求导数g(x)=[(x^2-1)(3x^2)-(x^3+2)(2x)]/(x^2-1)^22.化简g(x)=(x^4-6x)/(x^2-1)^23.求解g(x)=0x=0或x=±√64.讨论g(x)的符号将x分割为若干区间，分别判断g(x)的符号，得出函数的单调性

习题1:求函数f(x)=(x^2+1)/(x-1)的单调性1求导首先，求函数f(x)的导数f(x)=(x^2-2x-1)/(x-1)^22求解驻点令f(x)=0,解得x=1±√2，它们是f(x)的驻点。3讨论单调性当x∈(-∞,1-√2)∪(1+√2,+∞)时，f(x)0,则f(x)单调递增；当x∈(1-√2,1)∪(1,1+√2)时，f(x)0,则f(x)单调递减。

习题2:求函数g(x)=(x^3-2x+3)/(x^2+1)的单调性1求导先求出函数g(x)的导数2解不等式解出g(x)0和g(x)0的解集3确定单调区间根据解集确定函数的单调递增和单调递减区间

习题3:求函数h(x)=(x^4+2x^2-1)/(2x^3-3x)的单调性11.定义域求函数h(x)的定义域22.求导数求函数h(x)的导数h(x)33.单调性根据导数h(x)的符号，判断函数h(x)的单调性

习题4:求函数f(x)=(x^3-x^2-x+1)/(x-1)的单调性11.确定定义域函数的定义域为x≠1.22.求导数f(x)=(2x^3-3x^2+1)/(x-1)^233.讨论导数的符号令f(x)=0,得x=1或x=1/2