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浅谈数学归纳法在高中数学教学中的作用 　　 摘 要：数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，也是一种特殊的论证方法，它在数学各个分支都有着广泛的应用。 中国论文网 /9/view-7225015.htm 　　 关键词：高中数学;数学归纳法;辅助函数;等式证明 　　 数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个考点，也是一个难点。在看似简单易懂，形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其实质。有些同学仅仅只是生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。 　　 在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。 　　 一、应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用 　　 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。 　　 例1：证明凸n边形的对角线的条数f（n）=n（n-3）.（n≥3） 　　 证明：（1）当n=3时，f（3）=0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。 　　 （2）假设：当n=k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）=k（k-3）。那么当n=k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k-2个顶点A2，A3，A4，…，Ak-1可画出k-2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸 边形的对角线条数为： 　　 f（k+1）=f（k）+（k+1） 　　 =k（k-3）+（k-1） 　　 =（k2-k-2） 　　 =（k+1）（k-2） 　　 =（k+1）[（k+1）-3] 　　 这就是说，当n=k+1时，命题也成立。 　　 需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。 　　 二、构造辅助函数 　　 用数学归纳证明与正整数有关的数学等式时，大多数学生在从假设时命题成立出发，证明当时命题也成立的推理证明过程中无从下手，感到很茫然，这其中最主要的原因是他们找不到证明目标。笔者结合多年的数学教学实践，针对中学生学习和应用数学归纳法的难点，分析其突破方法.构造辅助函数，利用函数思想可使这一问题迎刃而解。下面将结合具体实例谈谈如何借助函数来构造证明目标，从而降低数学归纳法中这一步的证明难度。 　　 例2 已知n∈N+，用数学归纳法证明等式 　　 +++…+=. 　　 分析：首先构造辅助函数 　　 f（n）=+++…+ 　　 假设n=k时等式成立，即f（k）=，然后确定证明目标f（k+1）=;其次，寻找f（k+1）与f（k）的关系。这样一来，证明思路非常清晰明了，同学们也感觉不到茫然了。 　　 证明：令f（n）=+++…+，则 　　 （1）当n=1时，左边==，右边==，左边=右边，等式成立; 　　 （2）假设n=k（k≥1）时等式成立，即f（k）=。当n=k+1时 nbsp;f（k+1）=f（k）+=++…++= 　　综上，等式对于一切正整数n都成立。 　　 通过上述例子可以看到，在用函数方法证明此类问题时，可归纳为以下三个步骤：第一步，构造函数f（n）;第二步，假设等式f（k）成立;第三步，确定证明目标f（k+1），寻找f（k+1）与f（k）的关系。可见函数思想在数学归纳法证明等式中有着很重要的作用。 　　 以上我们对数学归纳法基本形式，及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等，一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。