乐在其中——数学的趣味.doc

几家欢乐几家愁 人生识字忧患始，姓名粗记可以休。 何用草书夸神速，开卷惝怳令人愁。 我尝好之每自笑，君有此病何年瘳。 自言其中有至乐，适意无异逍遥游。 这是苏轼诗《石苍舒醉墨堂》中的句子，说的是自己对书法的感受。其实把这诗搬到那些沉湎于数学谜题的求解者头上，恐怕也很合适。“约翰、杰克和乔伊三人，每人均有两份职业。这六种职业是：司机、酒商、音乐家、画家、园艺师、理发师。从下列事实中判定三人各从事哪两份职业。1、司机嘲笑音乐家头发太长；2、音乐家和园艺师常常和约翰一起去钓鱼；3、画家从酒商那里买了1夸脱的杜松子酒；4、司机追求画家的妹妹；5、杰克欠园艺师5美元；6、乔伊在掷圈游戏中击败了杰克和画家。”如果不识字，你当然不会因为这样的啰啰嗦嗦的无聊问题而烦恼。Flaubert小时候，曾经写信给他的姐姐卡洛琳（Carolyn）说：“既然你在学习几何和三角，那我就问你一个问题。一艘船在海上航行。它满载羊毛制品驶离波斯顿。它重达200吨。它开往勒阿弗尔（Le Havre）。它的主桅断了，船舱服务员在甲板上。船上有12位乘客。风向为东北偏东，钟表指向下午3点一刻。时间为五月份。——问船长有几岁？”读者诸君千万不要误以为这是个数学问题，调皮的Flaubert不过是在和他姐姐开玩笑罢了。不过如果他姐姐不学数学，当然不会有人用问题刁难她。偏偏这个世界上到处都是有文化的人，数学谜题不可避免地就成了几家欢乐几家愁的根源了。 人类大概从会编制数学问题开始，就热衷于趣味问题了。趣味数学问题激发人们的想象、好奇和创造力，是数学研究的数学发展的重要推动力量。方程理论、概率论、微积分、拓扑学等，无不源于以谜的形式表达的问题。历史上，开普勒、帕斯卡、费马、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、哈密尔顿、凯莱等著名数学家都曾对趣闻数学问题进行过深入的研究。 摆渡问题 让我们从最古老的趣味数学问题之一——摆渡问题开始说起。中世纪，英国数学家阿尔昆（Alcuin, 735～804）在其《益智集》（Problems for the Quickening of the Mind）中提出：有人携带一只狼、一只羊、一篮白菜渡河。唯一的工具是一条小船。小船一次只能载他自己和三样东西中的一样。如果只留下羊和白菜在一起，羊就会吃掉白菜；如果留下羊和狼在一起，狼就会吃掉羊。问这个人如何摆渡到对岸，使白菜、羊、和狼都安然无恙？16世纪，意大利数学家塔塔格里亚（N. Tartaglia）将其设计成一个新版本：三位美丽的新娘和她们的爱吃醋的先生一同旅行。他们来到了一条河边，但只有一条小船，小船一次只能载二人。为了避免有人吃醋，他们约定：除非自己的先生在身旁，否则任一女士不得和其他男人在一起。问怎样安排渡河？答案是往返11次。如果只有两对夫妇，则往返5次就够了；如果有四对及更多对夫妇，那么问题无解。这个问题后来又被推广成： ●对夫妻用一条船过河，该船至多可载n-1个人，条件仍是任一女士除非自己的丈夫在身旁不得和其他男人在一起。问怎样安排渡河的步骤？（n=3时，y=11；n=4时y=9；n4时y=7） ●问一条船至少能载几个（x）人时，才能使n对夫妻可乘它渡河，而任一女士除非自己的丈夫在身边，否则不得和别的男人在一起；任何一个都会划船。并求往返摆渡的最少次数（y）。 n X y 2 2 5 3 2 11 4 3 9 5 3 11 5 4 2n-3 类似地还有火车转轨问题。图中有一火车头L和2节货车车厢W1和W2，DA是W1和W2所在侧线的公共部分，长度足够停放W1或W2，但不能同时容下两节车厢，也容不下火车头L。这样，停在DA上的车厢可以转轨到侧线上。工程师的工作是转换W1和 W2的位置。问如何完成？这个问题并不难，但如果有更多的车厢（如在铁路货物分类站），要按车厢目的地先后顺序进行排列，那么工程师就需要有很高的数学水平才能完成职责了。 中世纪的数字棋 哦！想起那睿智的数字战心里就痒痒， 算术的叶子、花朵和果实尽情地玩赏， 还可赢得美好的赞誉和无上的荣光。 这是写于13世纪上半叶的拉丁文诗歌De Vetula中的片段。诗中的“数字战”是流行于中世纪的一种数学游戏，起源时间不详，但很可能早于11世纪。在一部约写成于1030年的论该游戏的手稿中，作者阿西洛（Asilo）提到意大利博伊修斯（Boethius，375～524）的数学著作，因此有人将其归功于博伊修斯；更多的人则将其归功于毕达哥拉斯（Pythagoras, 540 B. C.～501 B. C.），因为它与毕氏学派的比例论密切相关。它常常被称为“哲学家的游戏”，因为沉迷于该游戏的多半是通数学的知识阶层。从11世纪初直到18世纪初整整7个世纪的流传充分证明了它的无穷魅力。 “数字战”是一种棋盘游戏。棋盘横8格，