考点01 空间向量的运算及应用-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（原卷版）.docx
考点01空间向量的运算及应用
1、用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
2、证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，．
3、证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，；
(4)∥(或∥或∥)．
4、空间向量数量积计算的两种方法
(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
5、空间向量数量积的三个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
注：①当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；
②当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以
③立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝eq\r(a2)转化为向量求解．
6、空间向量的坐标运算
（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．
（2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么
①a±b＝．
②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，
④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，
⑥a∥b?(λ∈R)，
⑦a⊥b?.
（3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则
考点一空间向量的概念及其线性运算
1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②是向量的必要非充分条件；
③向量、相等的充要条件是
④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
2．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）下列命题中为真命题的是（????）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）的相等向量是______；
（2）的相反向量是______；
（3）的共线向量（平行向量）为______；
（4）模为的向量是______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.
4．（2022·重庆·高二期末）在长方体中，（????）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）在三棱锥中，是的中点，则______.
6．（2022·广东揭阳·高二期末）已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（????）
A．平面ABC的一个法向量是 B．的一个单位向量的坐标是
C． D．与是共线向量
考点二共线、共面向量定理的应用
空间向量共线问题
7．（2022·山西吕梁·高二期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（????）
A． B． C． D．
8．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（????）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2022·重庆长寿·高二期末）已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为（??????）
A． B．
C． D．4
10．（2022·全国·高二期末）已知，，若与为共线向量，则x＝_________．
11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（????）
A． B． C．3 D．
12．（2022·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（????）
A． B． C． D．
（二）空间向量共面问题
13．【多选】（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期末）关于空间向量，