4.2.1随机变量及其与事件的联系-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)(原卷版).docx
第四章概率与统计
4.2随机变量
4.2.1随机变量及其与事件的联系
知识梳理
一、随机变量及其与事件的联系
1．随机变量
定义
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量
表示
随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示
范围
随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围
2．随机变量与事件的联系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤b，Xb等都表示事件，而且：
（1）当a≠b时，事件X=a与X=b互斥；
（2）事件X≤a与Xa相互对立，因此P(X≤a)+P(Xa)=1．
3．离散型随机变量
取值
特点
一一列出
对于随机变量所有可能取的值都能一一列举出来
有限性
离散型随机变量只取有限个值
4．随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量．
由于X=t的充要条件是Y=at+b，因此P(X=t)=P(Y=at+b)．
常见考点
考点一判断随机试验中的随机变量
典例1．下列变量中，不是随机变量的是（）
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数
变式1-1．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()
A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数
C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数
变式1-2．10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
变式1-3．下列变量中不是随机变量的是.
A．某人投篮6次投中的次数 B．某日上证收盘指数
C．标准状态下,水在100时会沸腾 D．某人早晨在车站等出租车的时
考点二随机变量的取值
典例2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（）
A．25 B．10 C．15 D．9
变式2-1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（）
A．6 B．5 C．4 D．2
变式2-2．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式2-3．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用表示取出球的最小号码，则的取值为（）
A．1 B．1，2 C．1，2，3 D．1，2，3，4
考点三离散型随机变量与连续型随机变量的区分
典例3．下列X是离散型随机变量的是（）
①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
变式3-1．给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④
变式3-2．已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数；
②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击手在一次射击中的得分；
③一天内的温度；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数．
其中是离散型随机变量的是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④
变式3-3．一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出3个小球，下列变量是离散型随机变量的是（）
A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间
C．倒出的3个小球的质量之和 D．倒出的3个小球的颜色的种数
巩固练习
练习一判断随机试验中的随机变量
1．一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（）
A．所取球的个数
B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数
D．袋中球的总数
2．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的