2007全国初中数学竞赛.doc

2007全国初中数学竞赛 篇一：2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） ??x?y?12,1．方程组?的解的个数为（）． ??x?y?6 （A）1 （B） 2（C） 3 （D）4 答：（A）． ??x?y?12,解：若x≥0，则?于是y?y??6，显然不可能． x?y?6,?????x?y?12,若x?0，则 ? x?y?6,?? 于是y?y?18，解得y?9，进而求得x??3． ?x??3,所以，原方程组的解为?只有1个解． ?y?9, 故选（A）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）． （A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20 答：（B）． 解：用枚举法： 红球个数白球个数黑球个数种 数5 2，3，4，53，2，1，0 44 3，4，5，63，2，1，0 43 4，5，6，73，2，1，0 42 5，6，7，83，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B）． 3．已知△ABC为锐角三角形，O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E． 若O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则O一定经过 △ABC的（）． （A）内心 （B）外心（C）重心 （D）垂心 答：（B）． 解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以 ?BAC，?ABE均为锐角．又因为O的半径与△ADE的外 接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以 ?BAC??ABE．于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC． 若△ABC的外心为O1，则?BOC?BAC1?2 一定过△ABC的外心． 故选（B）． 4．已知三个关于x的一元二次方程 ，所以，O ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0 a2b2c2 恰有一个公共实数根，则??的值为（）． bccaab （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 答：（D）． 解：设x0是它们的一个公共实数根，则 ax0?bx0?c?0，bx0?cx0?a?0，cx0?ax0?b?0． 把上面三个式子相加，并整理得 2(a?b?c)(x0?x0?1)?0． 222 132?x0?1?(x0?)2??0，所以a?b?c?0． 因为x024 于是 a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3 ???? bccaababcabc ??3ab(a?b)?3． abc 故选（D）． 5．方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解（x，y）的个数是（）． （A）0 （B）1（C）3 （D）无穷多 答：（A）． 解：原方程可化为 x(x?1)(x?2)?（3x2?x）?y(y?1)(y?1)?2， 因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解． 故选(A). 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC中，?ACB?90?，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ． 答：4． 解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称 点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之 差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而 11S?BPO?PO?CO??2?2?2． 22 因此，这两部分面积之差的绝对值是4． 7．如图, 点A，C 都在函数y? x?0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标 为． 答： （0）． 解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别 为E，F．设OE＝a，BF＝b， 则AE ，CF ， 所以，点A，C的坐标为 （a ），（2a＋b ）， 2?所以 (2a?b)?解得 ??a? ???b?因此，点D 的坐标为（0）． 8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是 ． 1答：?1≤a??， 或者a?3? 2 解：分两种情况： （）因为二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段A