信息论第六章答案.doc

6.1 奇校验码码字是c=(m0,m1,…,mk-1,p)，其中奇校验位p满足方程 m0+m1+,…, +mk-1+p =1 (mod 2) 证明奇校验码的检错能力与偶校验码的检错能力相同，但奇其校验码不是线性分组码。 证：偶校验码的编码方程为 m0+m1+,…, +mk-1+p =0 (mod 2) 当差错图案e中有奇数个1时，通过偶校验方程可以检测出发生错误，因此检测概率： 奇校验码的编码方程为 m0+m1+,…, +mk-1+p =1 (mod 2) 当差错图案e中有偶数个1时，通过偶校验方程可以检测出发生错误，因此检测概率： 由线性分组码的性质可知，码组中必有一个全零码字。而奇校验码中没有全零码，如果有的话必是错码，所以奇校验码不是线性分组码。 6.2 一个 (6, 2) 线性分组码的一致校验矩阵为 求hi (i=1，2，3，4)使该码的最小码距dmin≥3。 求该码的系统码生成矩阵Gs及其所有4个码字。 解：（1）对H做行、列初等变换： 后五列已是满足三列无关，四列相关，可使dmin=4。 因此，dmin=3，必须包含第一列，而剩余5列取2列有10种组合： 1+2+3，1+2+4，1+2+5，1+2+6，1+3+4，1+3+5，1+3+6, 1+4+5, 1+4+6，1+5+6 三列相关的4种： h值分别可以为[0110]T；[1111]T；[1101]T；[1001]T； dmin=4，因此，必须包含第一列，而剩余5列取3列有10种组合： 1+2+3+4，1+2+3+5，1+2+3+6，1+2+4+5，1+2+4+6，1+2+5+6， 1+3+4+5, 1+3+4+6, 1+3+5+6，1+4+5+6 四列相关的1种：（1+2+3+4，1+4+5+6）的h值一样[0111]T； dmin=5，必须包含第一列，剩余5列取4列有5种组合： 1+2+3+4+5，1+2+3+4+6，1+2+3+5+6，1+2+4+5+6，1+3+4+5+6， 五列相关的1种：1+2+3+5+6的h值 [0000]T，但是全零列不能校验任何位的差错，故不能构成校验矩阵。 dmin=6，必须包含第一列，剩余5列取5列有1种组合：1+2+3+4+5+6， 没有6列相关的h 将H行、列初等变换至：（此小题的答案有多种，视选取的hi不同而不同。） 6.3 一个纠错码消息与码字的对应关系如下： （00）——（00000），（01）——（00111），（10）——（11110），（11）——（11001） （1）证明该码是线性分组码。 （2）求该码的码长、编码效率和最小码距。 （3）求该码的生成矩阵和一致校验矩阵。 （4）构造该码BSC上的标准阵列。 （5）若消息在转移概率p=10-3的BSC上等概率发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。 （6）若在转移概率p=10-3的BSC上消息0发送的概率为0.8，消息1发送的概率为0.2，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。 （7）若传送消息0出错的概率为10-4，传送消息1出错的概率为10-2，消息等概发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。 解： （1）该码组等长，由K=2，得n=2k=4；该码组中有全零码；消息（01）和（10）的和（11）对应得码字（11001）是（01）对应的码字（00111）与消息（10）对应的码字（11110）的和，满足线性关系；最小非零码重量等于最小码距为3；所以该码组是线性分组码。 （2）码长n=5，效率η=k/n=2/5=40%，最小码距为3，因为最小码重量为3。 （3）由于G的每行是线性分组码的一个码字，所以，由（10）和（01）消息对应得码字构成生成矩阵的两行： 本小题视选取得码字与G的初等变换结果不同而有不同的系统码生成矩阵和一致校验矩阵。但是码字的重量分布不变。 （4）伴随式和错误图案的关系： 伴随式有2n-k＝8种组合，差错图案中代表无差错的有1种，代表1个差错的图案有5种，代表两个差错的图案有种10。只需挑选其中对应最轻差错图案的两个。 先将ej=(00000)、(10000)、(01000)、(00100)、(00010)、(00001)代入上面的关系式，得对应的Sj分别是(000)、(111)、(101)、(100)、(010)、(001)。 剩下的伴随式中，(011)所对应的差错图案是2k个即(00011)、(10100)、(01101)、(11010),其中(00011)和(10100)并列重量最轻，任选其中一个如(00011)。同样可得伴随式(101)所对应的最轻差错图案之一是(00101)。其它三个差错图案为（10010）、（01011）、（11100）。 标准阵列： S C0+