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寒假作业之解析几何 1.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 2. 直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是________ 3．已知直线与圆相交于两点，若点M在圆C上，且有（为坐标原点），则实数= 4.已知方程和(其中,)，它们所表示的曲线可能序号是 . 5.已知双曲线，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 6.已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为 7.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，，则双曲线的离心率为 8.双曲线的渐近线被圆 所截得的弦长为 ▲ 9.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.(Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)设是线段上的点,且.请将表示为的函数. 10.椭圆 的左、右焦点分别是，离心率为eq \f(\r(3),2)，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆C的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若， 试证明:为定值，并求出这个定值． 11.已知椭圆与直线相交于两点． （1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8， 求椭圆的方程； （2）如果又椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围． 12.在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心. ⑴求椭圆E的方程； ⑵设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线，当直线都与圆相切时，求P点坐标. 分 寒假作业之解析几何参考答案 1.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 2. 直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是a＝－2 3．已知直线与圆相交于两点，若点M在圆C上，且有（为坐标原点），则实数=：0 4.已知方程和(其中,)，它们所表示的曲线可能序号是 . （2） 5.已知双曲线，两渐近线的夹角为，双曲线的离心率为 6.已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为 7.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，，则双曲线的离心率为2 8.双曲线的渐近线被圆 所截得的弦长为4 9.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)设是线段上的点,且.请将表示为的函数. 解:(Ⅰ)将代入得 则 ,(*) 由得 . 所以的取值范围是 (Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则 ,,又, 由得,, 所以 由(*)知 ,, 所以 , 因为点Q在直线l上,所以,代入可得, 由及得 ,即 . 依题意,点Q在圆C内,则,所以 , 于是, n与m的函数关系为 () 10.椭圆 的左、右焦点分别是，离心率为eq \f(\r(3),2)，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆C的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若， 试证明:为定值，并求出这个定值． 解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1， 得y＝±eq \f(b2,a).由题意知 eq \f(2b2,a)＝1，即a＝2b2. 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)， 所以a＝2，b＝1. 所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. (2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y－y0＝k（x－x0），)) 得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(yeq \o\al(2,0)－2kx0y0＋k2xeq \o\al(2,0)－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－xeq \o\al(2,0))k2＋2x0y0k＋1－yeq \o\al(2,0)＝0. 又eq \f(xeq \o\al(2,0),4)＋yeq \o\al(2,0)＝1，所以16yeq \o\al(2,0)k2＋8x0y0k＋xeq \o\al(2,0)＝0，故k＝－eq \f(x0,4y0). 由(2)知eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)＝eq \f(x0＋\r(3),y0)＋eq