2002年全国初中数学联赛.doc

2002年全国初中数学联合竞赛试卷 （2002年4月21日8：30—10：30） 一、选择题（本题42分，每小题7分） 1、已知a -1，b 2-，c -2a，b，c A a b c B b a c C c b a D c a b 2、若m2 n+2，n2 m+2 mn ，则m3-2mn+n3的值为（ ） A 1 B 0 C -1 D -2 3、已知二次函数的图象如图所示，并设M |a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|， A M 0 B M＝0 C M 0 D 不能确定M为正、为负或为0 4、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC 90o，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ） A 18 B 20 C 22 D 24 5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ） A 2：5 B 1：2 C 1：3 D 2：3 6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知a 0，ab 0 . 2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为 3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。 4、设N 23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y 对。 三、（本题满分70分） 1、（本题满分20分） 已知：a ，b，c，试求方程bx2+cx-a 0的根。 2、（本题满分25分） 如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P在△ABC的外接圆上。 3、（本题满分25分） 试确定一切有理数r，x的方程rx2+ r+2 x+r-1 0有且只有整数根。 参考答案 一、BDCBCC 二、1、 2、 3、12 4、27 三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-c+48 0的两根 △ -4 c- 2≥0，c 4 a b 4 所以原方程为 x2+x-1 0 x1 ，x2 2、连结BP、PR、PC、PP （1）证四边形APPQ为平行四边形 （2）证点A、R、Q、P共圆 （3）证△BPQ和△PRC为等腰三角形 （4）证∠PBA ∠ACP，原题得证 3、（1）若r 0，x ，原方程无整数根 （2）当r≠0时，x1+x2 x1x2 消去r得：4x1x2-2 x1+x2 +1 7 得 2x1-1 2x2-1 7 由x1、x2是整数得：r ，r 1 -1 1 y O x A B A O1 O2 Q R P B C P