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初中数学竞赛辅导专题（三） 初中数学竞赛中最值问题求法应用举例 最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： 根据非负数的性质求最值。 若M =（X±a）2 +b ，则当X±a = 0时M有最小值b 。 若M = －（X±a）2 + b ,则当X±a = 0 时M有最大值b 。 用（a±b）20 ，∣a∣≥0,≥0的方法解题。 【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】 例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ） A．27 B、 18 C、15 D、 12 解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c22ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca) =3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a2+b2+c2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。 【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2＋b2＋c2)a、b为实数，那么a2＋ab＋ba－b的最小值是——————————。 解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2＋b2－b－ =(a＋)2＋(b－1)2－1 －1 。a＋b－a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。 【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】 例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋ba2－ab＋b2a2－ab＋b2 = K,a2＋ab＋b2 =1,解得：a2＋b2 = (1＋K),ab = (1－K)。(a＋b)20, ∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)0, ∴K≤3 . ∵(a－b)20, ∴a2＋b2－2ab = (1＋K)－2×(1－K)0, ∴K≥ . 得 ≤K≤3 。a2－ab＋b2 ，最大值是3 ，这两个值的和是3 。 【本题的关键在于直接运用（a±b）20 】 a、b满足3＋b∣= 7 ，则S = 2－b∣的最大值为------------------- ，最小值为-------------------- 。 解：联立3 ＋5|b| = 7和S = 2－b|两式，解得19= 21＋5S，19|b|=14－3S 。∵ 19≥0,∴21＋5S0,S≥－ 。 19∣b∣≥0,∴14－3S0 , ∴S ≤ , 得 －S≤ 。 ，最小值为－ 。 【a∣≥0和≥0 】 （二）、直接运用a2＋b2 2ab ( a＋b 2 )性质求最值。 例题（6）、若X 0，则函数Y = ＋＋＋＋＋＋＋＋ = 2＋2 = 4 。所以原式的最小值是 4 。 【(a－b)20直接推出的。】 例题（7）、已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋da2＋b2＋c2＋d2 = ，求a的最小值与最大值。 解：∵a＋b＋c＋d = 4 , b＋c＋d = 4- a , (b＋c＋d)2 = b2＋c2＋d2＋2bc＋2cd＋2bd b2＋c2＋d2＋(b2＋c2)＋(c2+d2+(d2+b2)=3(b2+c2+d2) ∵b＋c＋d = 4－a, (b＋c＋d)2 = (4－a)2 . a2＋b2＋c2＋d2 = , b2＋c2＋d2 = －a2 a）2 3×(－a2) ,a(a－2) 0 ,解得0≤ a ≤2 。 a的最小值是0 ，a的最大值是2 。 【a2＋b22ab,从而达到了把(b＋c＋d)以及b2＋c2＋d2a替换的目的。】 （三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4aca、b、c满足a＋b＋cabc = 4 ，求a、b、c中最大者的最小值 ；求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。 解：，设a为最大者，则由题意得 b＋c=2－a,bc= ,b、c是关于X的二次方程X2－(2－a)X＋=0a）2－4×1×0 ,展开后整理并分解因式得(a2＋4)(a－4)4 ,∴ a≥4。a的最小值是4 。 【b=c=-1时a取最小值。划线部份