Nash均衡存在性证明.pdf

Brouwer’s 不动点定理：若f :X →X 是连续函数，而且X 是非空、紧的凸集合，则存在 x* f x * 。 ( ) l Kakutani’s 不动点定理： X 是ℜ 空间中非空，紧的凸子集，f : X →X 是一个对应。如 果f 满足： (i) 对于所有的 x ∈X ，集合f (x)非空且为凸， (ii) f 的图像是闭的，即，如果x →x ，y ∈f (x ) ，y →y ，那么y ∈f (x) （或者说对应f 是上半 n n n n 连续的(upper hemi-continuous，uhc) ）， 那么则存在 x * 使得x * ∈f (x *)。 引理1.1： ∗ ∗ ∗ σ 是纳什均衡当且仅当u σ ≥u s ,σ 对所有i 与s ∈S 均成立。 ( ) ( ) i i i −i i i 证明：当 ∗ ∗ u σ ≥u s ,σ 对 s ∈S 成立，因 σ 是 s 的线性组合，可知 ( ) ( ) i i i −i i i i i ∗ ∗ ∗ u σ ≥u σ ,σ ，σ 是纳什均衡。反之，由定义可证。 ( ) ( ) i i i −i 定理 1.1 ( Nash, 1950, 1951) ：若允许混合策略均衡，每个有限的策略式博弈都存在纳什均 衡。 证明： ⎧⎪ ⎫⎪ 因为Σ ⎨(σ (s )) ∑σ (s ) 1,σ (s ) ≥0⎬非空，紧且凸，所以Σ=ΠΣ 亦是如此。 i i i i i i i i i ∈ ⎪⎩ si Si ⎪⎭ 定义T : Σ→Σ with T σ σ′ ( ) σ s +d s ,σ ( ) ( ) ′ i i i i −i σ s ,=∀s ∈S ,d s ,σ max 0,u