2011全国中考数学真题解析压轴大题(三)济南临沂青岛小班一对一辅导机构大智学校2012年中考必看.doc

2011全国中考真题解析 压轴题及详解（三） 31. （2011湖北荆州，24，12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA?所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，求ACQ周长的最小值；若FQ=t，SACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得PEF∽△EMF，则可证得PEM=90°，即ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得ACQ周长的最小值；分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案． 解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，正方形CDEF的面积为1，CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，BC=2PC=2n，而PB=PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，5n2=（n+1）2+1，解得：n=1或n=- 12（舍去），BC=OC=2，B点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），A，C在抛物线上，  {c=214×4+2b+c=0，解得： {c=2b=-32，抛物线的解析式为：y= 14x2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，C与G关于直线x=3对称，CF=FG=1，MF= 12FG= 12，在RtPEF与RtEMF中，EFM=∠EFP， FMEF=121=12， EFPF=12， FMEF=EFPF，PEF∽△EMF，EPF=∠FEM，PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，A与A′关于直线x=3对称，A（0，2），A′（6，2），A′C=（6-2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，ACQ周长的最小值为2 2+2 5；当Q点在F点上方时，S=t+1，当Q点在线段FN上时，S=1-t，当Q点在N点下方时，S=t-1． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用． 3. （2011湖北潜江，24，12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴的两个交点分别为A（—3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H． （1）直接填写：a＝　—1　，b＝　—2　，顶点C的坐标为　（—1，4）　； （2）在y轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标． 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）将A（—3，0）、B（1，0），代入y＝ax2＋bx＋3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可； （2）首先证明CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出ACD是以AC为斜边的直角三角形． （3）首先求出直线CM的解析式为y＝k1x＋b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQ∽△ACH，得PCQ＝ACH得出答案即可． 解答：解：（1）a＝—1，b＝—2，顶点C的坐标为（—1，4）； （2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CEy轴于点E． 由CDA＝90°得，1＋2＝90°．又2＋3＝90°， 3＝1．又CED＝DOA＝90°， CED∽△DOA，． 设D（0，c），则．变形得c2—4c＋3＝0，解