2025年土耳其EGMO代表队选拔考试试题.docx

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2025年土耳其EGMO代表队选拔考试第一天

1.对一个有若干单位方格被标记的棋盘，若对其任意两行(s,t),放置在第s行一个被标记方格上的车，仅通过移动到当前位置上方、下方或右侧的标记方格，能在若干步内到达第t行的标记方格，那么就称它为一个“好棋盘”.

考虑一个有220行12列的棋盘，其中每行恰好有9个方格被标记.若无论如何选取标记方格，均能删除其中k列并重新排列剩余列以形成一个“好棋盘”,确定k的最大可能值.

2.是否存在无穷正实数列{an},使得对任意正整数n,都有

,且

3.对于正整数n,令Sn为不超过n且与n互质的正整数组成的集合·定义f(n)为最小的正整数，使得Sn能够被划分成f(n)个互不相交的子集，且每个子集中的全体元素都能构成一个等差数列.

证明：存在无穷多对(a,b),满足a,b2025,a|b,且f(a)+f(b).

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第二天

4.求所有正整数n,使得

为n的第六小的正约数.

5.在△ABC中，内切圆与边BC相切于点D,顶点B相对的旁切圆与直线AB相切于点X,顶点C相对的旁切圆与直线AC相切于点Y.若T是线段AD的中点，U是△AXY的外心.证明：UT⊥BC.

6.在一场有200名参赛者的象棋锦标赛中，安排了700场比赛，使得在任意100名参赛者中，他们之间进行的比赛场数至少为N.确定N的最大可能值.