第四章数字图像地变换域处理.doc

第四章数字图像的变换域处理数字图像处理的基本方法有两大类：一类是根据图像像素数据的空间表示进行处理，称为空间域法；另一类方法是对图像像素数据的空间表示进行某种变换，针对变换数据进行处理，称为变换域法。图像变换是图像变换域处理的基础，本章将介绍常用的图像变换方法。对于一维函数，定义在上，变换的主要思想是确定一组基函数，正变换定义为： （4-1）其中，为基函数的复共轭，反变换定义为： （4-2）选择不同的基函数，就产生不同的变换，变换可以根据基函数的性质分为正交与非正交、线性与非线性、可分离变换等。4.1傅里叶变换傅里叶变换是常用的正交变换，其变换基函数是，如果函数满足狄里赫莱条件，即：具有有限个间断点、具有有限个极值点且绝对可积，则其傅里叶变换一定存在，正变换为： （4-3）反变换为： （4-4）由于，也就是说傅里叶变换的基函数具有正交特性，傅里叶变换是正交变换。另外，成立，说明傅里叶变换是线性变换，由于傅里叶变换的二维基函数可以写为，二维函数的傅里叶变换为： （4-5）也就是说，二维函数的傅里叶变换可以首先对坐标进行变换，然后再对变换结果进行方向的变换，因此，傅里叶变换是可分离变换。综上所述，傅里叶变换是线性、正交、可分离变换。表4.1给出了一些常用函数的傅里叶变换。表4.1一些常用函数的傅里叶变换函数高斯矩形脉冲三角脉冲冲激脉冲1余弦正弦复指数如果二维函数满足狄里赫莱条件，则其傅里叶变换为： （4-6）其反变换为： （4-7）由于傅里叶变换的基函数为，对于一实函数，其傅里叶变换结果为复函数，可以表示为： （4-8）其中，与分别为变换结果的实部与虚部，根据变换结果，可以获得幅值信息与相位信息，幅值信息表示为： （4-9）相位信息表示为： （4-10）图4.1给出了图像的幅值信息与相位信息。cbacba图4.1 Lena图像的幅值信息与相位信息, (a)Lena图像, (b) Lena图像的幅值信息，(c) Lena图像的相位信息。4.1.1傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质在傅里叶变换的应用中具有较为重要的作用，表4.2给出了一些重要的傅里叶变换的性质。表4.2傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质数学表达式备注线性性质为的傅里叶变换相似性定理为的傅里叶变换位移定理为的傅里叶变换卷积定理为的傅里叶变换微分性质为的傅里叶变换拉普拉斯为的傅里叶变换Rayleigh定理为的傅里叶变换旋转性质为顺时针方向的旋转角度可分离乘积共轭对称性为复共轭周期性为整数，为方向的周期根据傅里叶变换的共轭对称性有， （4-11）说明傅里叶变换的幅值信息是以坐标原点对称的，根据傅里叶变换的周期性性质，傅里叶变换的幅值信息与相位信息是在空间上的延展。对于数字图像函数，其直流分量，位于变换结果的左上角，如图4.1 (a)所示，对数字图像来说，一般习惯上通过位移性质，将直流分量移到变换结果的中心处，根据位移性质，给函数乘以，然后计算其傅里叶变换，即可以将低频分量移到变换结果的中心处[见图4.2]。图4.2 Lena图像直流分量移到变换结果的中心的幅值信息根据傅里叶变换的性质可以实现某些函数傅里叶变换的快速计算，如计算高斯函数的傅里叶变换，根据表4.1，有 （4-12）将高斯函数改写为： （4-13）其中，，根据相似性定理，有 （4-14）如计算高斯函数的傅里叶变换，根据位移定理，很容易得到 （4-15）卷积定理是傅里叶变换比较重要的性质，我们在第二章中利用卷积定理解释了截断、采样对信号的影响，在数字信号处理与图像处理中卷积定理有很重要的应用，例如对于一个未知的线性系统，其输出函数与输入函数的关系可以描述为： （4-16）其中，为此线性系统的冲激响应函数，其唯一的描述了此线性系统，求解冲激响应函数称为线性系统辨识，可以利用卷积定理实现，已知输入函数，通过测量系统的对应输出可以得到，利用卷积定理有， （4-17）其中，、为输出函数、输入函数对应的傅里叶变换，为冲激响应函数，有 ， （4-18）通过求的傅里叶变换可以获得冲激响应函数，即： （4-19）4.1.2离散傅里叶