近代光信息处理第5部分课程.ppt

第五章 广义傅里叶变换及其光学实现 第五章 广义傅里叶变换及其光学实现 5.1 引言 5.2 广义傅里叶变换的定义及性质 5.3 广义傅里叶变换的本征函数 5.4 用透镜系统实现广义傅里叶变换 的基本光学单元 5.5 基本光学单元的组合 5.6 用自聚焦效应光波导实现广义傅里叶变换 5.7 维格纳变换 5.1 引 言 二维傅里叶变换 ?(u,v) = F{?o} =??∞- ∞?o (x,y) exp[-i2?(ux+vy)]dxdy 可以用光学系统近似实现 在本章中将研究当物体到透镜的距离d1及输出图像到透镜的距离d2不等于透镜的焦距f 时透镜或透镜系统对输入图像的变换． 5.1 引 言 研究表明，d1和d2 满足一定的条件时，输出平面上将出现 ?o 的广义傅里叶变换： (2) 又称为分数阶傅里叶变换(fractional Fourier transform)，当?= ?/2时, 分数阶傅里叶变换显然变为常规傅里叶变换． 数学家的贡献 早在1937年，Condon提出了广义傅里叶变换的初步概念． 到1980年，Namias 完整地提出了广义傅里叶变换的数学定义、性质，讨论了变换的本征函数，并用于处理谐振子的薛定谔方程、格林函数问题、在均匀磁场中的自由电子的能级、在含时间变量的均匀磁场中自由电子薛定谔方程的求解等． 1987年，McBride 和 Kerr 进一步研究了广义傅里叶变换，把变换看作是充分光滑的函数构成的向量空间( Frechet 空间)中的算子，在此框架内建立了广义傅里叶变换更为严谨、完整的理论系统，这两篇文章至今仍是广义傅里叶变换的理论基础． 物理学家的贡献 直到90年代，光学科学家和工程师开始关注广义傅里叶变换与光学的关系，与三十年前常规傅里叶变换与光学的结合产生了傅里叶光学的情况非常相似． 1993年，Ozaktas 和Mendlovic 提出用平方折射率光波导(GRIN)来实现广义傅里叶变换；Lohmann，Bernardo等则用透镜系统成功地实现了这一变换； Lohmann还设计了阶数连续可变的广义光学傅里叶变换系统； Bernardo等认为应正确地称这一变换为广义傅里叶变换，而不是分数阶傅里叶变换，因为阶数既可以是整数、分数，还可以是复数． 广义傅里叶变换与其他变换关系 Lohmann，Mendlovic阐明了广义傅里叶变换与维格纳变换的关系，指出可以用维格纳空间中的旋转来一般地定义广义傅里叶变换，这一定义与光波在梯度折射率介质中的传播的定义是等价的。 Mendlovic等进一步讨论用广义傅里叶变换来表征信号的新方法，以及分数阶光学相关； Dorsch，Bernardo等分别提出了用光学系统实现任意阶傅里叶变换的方案； 广义傅里叶变换与其他变换关系 Ozaktas 等研究了广义傅里叶变换与小波变换的关系，他们认为广义傅里叶变换可以表为小波变换，小波函数具有h(x)=exp(i?x2)的形式．然而该函数是分布在(-∞，∞)上的振荡函数，并不具备小波的特点．易证h(x)的傅里叶变换H(u)=exp(i?u)，而H(0)≠0，不符合小波变换的相容性条件．因而我们认为广义傅里叶变换只是形式上与小波变换相似． Mendlovic等对变换的形式稍加改换，定义了广义余弦变换，该变换适用于非相干光，在数字成像、非相干光信息处理方面都有潜在的应用．众所周知，夫琅和费衍射可以实现常规的傅里叶变换，Pellat-Finet则探讨了菲涅耳衍射与广义傅里叶变换的关系． 傅里叶变换在科学技术的许多领域中有广泛的应用，因此我们可以预料广义傅里叶变换的应用领域将更为宽广．目前，它已成为数学、量子力学中重要的应用工具． 本章将研究广义傅里叶变换的数学定义、性质及实现广义傅里叶变换的光学系统，并讨论与广义傅里叶变换有密切关系的维格纳变换． 5.2 广义傅里叶变换的定义及性质 5.2.1 广义傅里叶变换的定义 仅讨论一维函数的广义傅里叶变换，有关的定义和性质可以直接推广到二维的情况． 函数g(?)的广义傅里叶变换定义为 (1) 通常称它为g(?)的广义傅里叶谱，记为G(x)． 以 - ? 代替上式中的 ? ，得到 (2) ? 称为广义傅里叶变换的阶． 可证明F-? 是F? 的逆变换，即: F-? F?{ g(?)} = g(x) (4) 广义傅里叶变换的主值 区间为? ∈(-?，?)。当? 超出主值区间时，相应的变换可以化成在该区间内的变换。下面将证明这一点．因此F-? ( ? 0 )实质上只是负阶数的