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空气动力学方程：RANS方程与Navier-Stokes方程详解

1流体力学基础

1.1连续性方程

连续性方程描述了流体在流动过程中质量守恒的原理。在不可压缩流体中，

连续性方程可以表示为：

∂

+∇⋅=0

∂

对于不可压缩流体，密度ρ是常数，因此方程简化为：

∇⋅=0

∇⋅

其中，是流体的速度矢量，表示速度矢量的散度。

1.1.1示例

假设我们有一个二维流体流动，速度矢量为=,,，其中

−

,=2，,=2。我们可以计算连续性方程的左侧：

importnumpyasnp

fromscipy.ndimageimportgaussian_filter

#定义网格

x=np.linspace(0,1,100)

y=np.linspace(0,1,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#定义速度分量

u=2*X

v=-2*Y

#计算散度

div_u=np.gradient(u,axis=1)

div_v=np.gradient(v,axis=0)

divergence=div_u+div_v

#打印结果

print(连续性方程的左侧（散度）：)

print(divergence)

在这个例子中，连续性方程的左侧（散度）为0，满足不可压缩流体的连

续性方程。

1

1.2动量方程

动量方程描述了流体在流动过程中动量守恒的原理。对于不可压缩流体，

动量方程可以表示为：

∂

+⋅∇−⋅

=∇+∇+

∂

其中，是作用在流体上的外力，流体的压力，应力张量。

1.2.1示例

22

+=

假设我们有一个简单的二维流体流动，其中压力=，速度矢量

,−

，其中,=2，,=2。我们可以计算动量方程的

左侧：

#定义压力

p=X**2+Y**2

#计算压力梯度

grad_p_x=np.gradient(p,axis=1)

grad_p_y=np.gradient(p,axis=0)

计算速度的时间导数（假设为）

#0

du_dt=0

dv_dt=0

#计算速度的对流项

u_grad_u=u*np.gradient(u,axis=1)

u_grad_v=u*np.gradient(v,axis=0)

v_grad_u=v*np.gradient(u,axis=0)

v_grad_v=v*np.gradient(v,axis=1)

#计算动量方程的左侧

momentum_x=rho*(du_dt+u_grad_u+v_grad_u)+grad_p_x

momentum_y=rho*(dv_dt+u_grad_v+v_grad_v)+grad_p_y

#打印结果

动量方程