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§ 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 第二步. 求不变点 射影变换(1)的不变点方程组为 将λ3=2代入(I), 得 解出相应的不变点坐标为(1,3,1). 特征根：λ1=1, λ2= –1, λ3=2. § 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 第三步. 求不变直线 射影变换(1)的不变直线方程组为 § 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 第三步. 求不变直线 射影变换(1)的不变直线方程组为 将λ1=1代入(I), 得 解出相应的不变直线坐标为[1,0,–1]. 特征根：λ1=1, λ2= –1, λ3=2. § 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 第三步. 求不变直线 射影变换(1)的不变直线方程组为 将λ2= –1代入(I), 得 解出相应的不变直线坐标为[1,2,–7]. 特征根：λ1=1, λ2= –1, λ3=2. § 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 第三步. 求不变直线 射影变换(1)的不变直线方程组为 将λ3=2代入(I), 得 解出相应的不变直线坐标为[1, –1,–1]. 特征根：λ1=1, λ2= –1, λ3=2. 第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 课件作者：南京师大数科院周兴和 1、仿射变换 定义3.1 在拓广平面上，保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换. 定理3.1 射影变换 保持l∞：x3=0不变?a31=a32=0. 证明：(略, 见教材). 显然, 射影仿射变换形如 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 显然, 射影仿射变换形如 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得 称(3.3)决定的变换为仿射变换, 作用于一般仿射平面上. 第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 1、仿射变换 中, 如果矩阵A为正交阵, 即满足AA=E, 则称为正交变换, (3.3)的齐次坐标表达式称为射影正交变换. 2、正交变换 定义3.2 在仿射变换 注：正交变换的形式与解几中的直角坐标变换完全相同. 因此，它也体现为平移、旋转、轴反射及其合成. 也可化为三角函数表达式. (教材P.88的(3.5)式) 正交变换作用于欧氏平面上, 而射影正交变换则作用于射影仿射平面上. 第三章 变换群与几何学 一、二维射影变换的特例 二、平面上的几个变换群 定理3.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群. 定理3.4 非空集合S上若干个一一变换的集合G对于变换的乘法构成群? (1) 若g1, g2∈G, 则g1g2∈G. (2) 若g∈G, 则g–1∈G. 注：此即子群的条件. 第三章 变换群与几何学 二、平面上的几个变换群 K={平面上全体射影变换}. KA={平面上全体射影仿射变换}. KM={平面上全体射影正交变换}. A={平面上全体仿射变换}. M={平面上全体正交变换}. 射影平面 仿射平面 射影变换群K 射影仿射变换群KA 射影正交变换群KM 仿射变换群A 正交变换群M 上述变换群之间显然有下列关系： 在射影平面P上 在仿射平面PA上 第三章 变换群与几何学 三、Klein变换群观点 定义3.6 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G). S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于同一等价类的图形具有相同的G性质, 构成几何学(S,G). 注：显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学. 第三章 变换群与几何学 三、Klein变换群观点 Σ≠?. H为G的子群, 且对任意的g∈H, 都有g(Σ)=Σ (例如对任意τ∈KA, τ(P\l∞)=P\l∞)；又HΣ为Σ上的一个变换群, 且HΣ ≌H(如A为P\l∞上的变换群, A≌KA). 则称(Σ, HΣ)为(S,G)的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\Σ为的绝对形. (如l∞为绝对形). 由此定义, 可以得到几何学系列 定义3.7 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称